Restant toujours dans le cas où l'on a pour les

séries (u), {v),

lim. £"iLi __ lim. '^+1 = j^

n = 'X> Un n^^iC V/i

en sorte qu'on puisse poser

^ ^ Un Vn

avec les conditions lim. £« = lim. r,n = o, je vais montrer que les

n = co ;i = co

deux séries [u], {v) sont convergentes ou divergentes en même temps, lorsque la série dont le it terme est s» — '/]n est absolument convergente.

En effet, les égalités (i) donnent

Un^i = «1 (l — ^i) (l — s) ••• (l — ^»)'

d'où

La quantité "" J*" ayante pour limite finit, à partir d'une cer-

taine valeur de n, par devenir moindre que i en valeur absolue; rien n'empêche de supposer qu'il en est toujours ainsi, puisque, dans l'étude delà convergence d'une série, on peut faire commencer cette série au terme que l'on veut. Dès lors la théorie des produits infinis montre que le second membre, a pour n infini, une limite

différente de o, si la série "^ "" ~ ^"' est absolument convergente; le caractère de cette série est le même que celui de la série V /r„ — Y,n) puisque le rapport de deux termes correspondants, dans les deux séries, a pour limite l'unité. Si la série J^ ] c„ — '/]n I est conver2:ente,le rapport ^-^^-^^ a, pour n infini, une Hmite, différente