CHAPITRE m. REGLES DE CONYERGEr^CE JQ
de o. Les deux séries («), (") sont en mémo temps convergentes ou divergentes.
Ceci posé, prenons comme tout à l'heure, pour la série (u), la série dont le terme général est n~' ; on aura alors
A„ étant un nombre qui, comme on l'a vu au n° 133, reste inférieur en valeur absolue à un nombre fixe. La série > —î? est par
conséquentabsolument convergente, comme la série > ?i~^. On est maintenant en mesure d'établir le théorème suivant :
Si l'on peut mettre, dans la série (u), le rapport d'un terme au précédent sous la forme
r étant un nombre fixe et o„ une quantité telle que la série ^ |<>n| soit convergente, la série [v) est convergente si Ton a /■ >■ i, divergente si l'on a /' ^ I (^).
est alors conver-
En effet, il. est clair que la série >
Pn -o
gente : par conséquent les deux séries (tt), (r) ont le même caractère.
C'est ce qui arrive en particulier si l'on peut poser p„ = -7 •
s étant un nombre fixe plus grand que i et B« un nombre qui reste en valeur absolue, pour toutes les valeurs de n, inférieur à un nombre positif fixe.
En vertu de l'hypothèse faite sur le rapport — , ce rapport
finit nécessairement par être positif; tous les termes de la série (v) finissent par avoir le même signe, et il est inutile de spécifier que celte série est une série à termes positifs.
(1) Le lecteur pourra comparer cette règle à celle de Raade : dans des cas assez larges, mais nou toujours, les deux règles sont équivalentes. On peut appliquer le même mode de raisonnement, en employant comme terme de comparaison
des séries plus lentement convergentes que la série ^ n — ", par exemple la
série dont le n'^ terme est
ïgÔ INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
En vertu de la supposition relative au rapport ""^ ' , on a
Pu
,,=„,n(.-;;-p-.)^n(-,9xn('";z^)^
le produit infini
nhrï
est absolument convergent, à cause de la convergence de la série ^ 1 pn I ;, le produit
augmente indéfiniment axec p, reste égal à i, ou tend vers o, suivant que r est négatif, nul, ou positif : on voit que, p croissant indéfiniment, i'^ croit indéfiniment, tend vers une limite difîérento de o, ou tend vers o suivant que /' est négatif, nul, ou positif. La règle précédente s'applique en particulier dans le cas où le
rapport ■""'"' peut ^se mettre sous la forme d'une fraction rationnelle
nP -+- A|/i?'-' -h Aj/i'' — 2 -+- ...
ni' -\- a^n''~'- -t- a^iL''~- -h ...
où le degré p et les coefficients Aj, A^, ..., a^ a.^, ..., sont indépendants de 71 ; on voit de suite, en effectuant la division du numérateur par le dénominateur et en calculant deux termes au quotient, que l'on peut prendre r = a^ — Ai et que la série proposée est
qui, comme on le verra plus tard, est convergente ou clivcrgenle dans les mêmes conditions que la série ^ n~', ou encore des séries analogues. Celle que je viens de dire conduit à la règle suivante : si l'on peut poser
le nombre r élant fixe et la série ^ | p„ | convergente, la série (v) en convergente quand r est plus grand |que i, divergente quand r est égal ou inférieur
