CHAPITRE m. RÈGLES DE CONVERGENCE Ï

convergente si l'on a

A, — Oj 4- I < 0,

divergente dans les autres cas. Cette règle est due à Gauss,

Appliquons la, comme Gauss l'a fait lui-même, à la série hyper- (jéométriqiie :

où a, ^, Y désignent des nombres qui ne sont pas des entiers négatifs; le rapport du [n -h 2)" terme au (n -f- i)^ est

pour n infmi, il a £c pour limite ; on en conclut que la série proposée est absolument convergente lorsque l'on a | x | <, i ; on désigne habituellement la somme de cette série par le symbole

Si l'on suppose maintenant x = riz i, l'application de la règle précédente conduit aux résultats que voici :

Suivant que le [nombre a -+- /5 — 7 — i est positif, nul, ou négatif, les valeurs absolues des termes de la série augmentent indéfiniment, tendent vers une limite différente de o, ou tendent vers o. La série est absolument convergente si Ton aa-i-j5 — y<;oet seulement dans ce cas. Si a H- |3 — y est positif mais plus petit que I , la série ne peut être convergente si ses termes finissent par être toujours de même signe ; elle n'est donc pas convergente pour x=i, puisque, alors, le rapport d'un terme au précédent, finit par être positif. Pour x = — i, les termes finissent par être alternativement positifs ou négatifs, d'autre part ils tendent vers o et finissent par décroître constamment, comme il est aisé de le voir : on verra au n° 137 que, dans ces conditions, la série est convergente.

Je me bornerai à remarquer sur la série F (a, fj, 7, x), qui a été l'objet d'un grand nombre de beaux travaux, qu'elle se réduit à un polynôme en x quand l'un des nombres a, p est un entier

I gS INTRODUCTION A. LA THEORIE DES FONCTIONS

négatif, et qu'elle se réduit à la série déjà considérée

lorsqu'on y suppose |3 = y = — m, et qu'on y remplace x par — x.

136. — Prenons pour la série (u) qui sert de terme de comparaison, la série

OÙ l'on suppose |3„ positif, et dont on a démontré au n° 126 qu'elle était toujours convergente. La série à termes positifs

(v) V^ -Jr V^ -+- ... -+- Vn -}- ...

sera convergente si l'on a, à partir d'un certain rang,

ou, en remplaçant pour plus de simplicité |3« par y- et en supposant X„ >> G, si l'on a

ainsi, il suffît pour pouvoir affirmer la convergence de la série à termes positifs (v) de savoir qu'il existe une suite de nombres positifs Xi, Xg,..., Xi,... tels que l'inégalité (i) soit vérifiée pour toutes les valeurs de n qui dépassent une certaine limite.

La démonstration directe de cette règle (*) est immédiate, car en supposant l'inégalité précédente vraie à partir de n =z i, en l'écrivant sous la forme

^K ^ra — ' ^îi 4- 1 ^n + 1 = '^n + 1'

en y remplaçant n par i, 2, 3... et en ajoutant, on trouve de suite (i) Elle est dtie à Kummer : elle a été complétée par M. Jensen.

CHAPITIIE III. REGLES DE CONVERGENCE I Qf)

Réciproquement, si la série [v) est convergente, si l'on désigne par Sn la somme de ses n premiers termes, et par A un nombre supérieur ou égal à sa somme, il suffira de prendre (n" 126 j

pour avoir

Vn+J

car cette égalité se réduit à 5„^ i — s,, = v„j^ i ; au reste, on reconnaît sans peine que l'on aura, d'une façon plus générale.

si l'on prend

ln= (l + Er,)

en désignant par s,, s^,... c,,,... une suite de nombres positifs décroissants, d'ailleurs quelconques. En supposant A égal à la somme de la série proposée, on voit (n" 126) que la série dont le n"

terme est y est divergente.

L'existence des nombres a^, a.,,..., ).„,••• est ainsiune condition nécessaire et suffisante pour la com^ergence de la série [v).

En prenant tous les ). égaux entre eux, on voit que la série (v) est convergente si l'on peut déterminer un nombre positif ). tel que l'on ait, à partir d'un certain rang

Vn l -H X '

c'est la règle du n° 131. Si Ton prend ).„=:<--, on voit que la

série (v) est convergente si l'on peut déterminer un nombre positif), tel que l'on ait, à partir d'un certain rang

c'est la règle de Raabe, etc.

Il est clair que si la série formée avec les inverses des nombres positifs Xj, 1.2> '••, '^n, ... est divergente et si l'on a à partir d'un certain rang

(2) ""-^^àzl > A,

^ ' Vn = Kl + 1

la série (u) est divergente. Réciproquement si l'on se donne une série divergente [v) à termes positifs, on peut trouver une suite de nombres positifs ).,, X^, ..., X„, ... qui vérifient celte inégalité, et dont les inverses forment une série divergente :

Il suffira de prendre X„ = — , en désignant par Sn la somme des

n premiers termes de la série (y). En prenant, par exemple X,î = /?, on obtiendra la règle de Raabe, relative aux séries divergentes.

137. — Relativement aux séries qui sont convergentes sans l'être absolument, je me bornerai à établir quelques propositions, dont la première concerne les séries à termes alternativement positifs et négatifs.

Une série à termes alternativement positifs et négatifs est convergente si la valeur absolue de chaque terme est plus petite que la valeur absolue des termes précédents et si, en outre, les termas décroissent indéfiniment en valeur absolue quand leur rang s'éloigne indéfiniment.

Cette proposition repose sur le lemme que voici :

Si a, 6, c, .... j, k, l sont des nombres positifs rangés par ordre de grandeur décroissante, la quantité

où les signes vont en alternant, est positive : on jieut en effet l'écrire sous l'une ou l'autre des deux formes

(a 6) + (c - cl) + ... + (/ /,) -H (/),

suivant que le nombre des quantités a, ..., /est pair ou impair. Soit maintenant

(U) Wj — M, 4- «3 4- ... + (— l)«-i Un — ...,