CHAPITRE III. RÈGLES DE CONVEaCENCE

la série proposée, où tous les nombres u sont positifs et où l'on suppose (')

«1 > "2 > «3 > ••• > "« > •••' lini. Un == o.

Désignons par s^, la somme des n premiers termes ii^ — ii^-i- ...dz Un. Le lemme précédent donne immédiatement les inégalités

Sn > O, S.yp -\- l > Sirp

Les deux premières ont lieu quels que soient les nombres n, p, rj; les deux dernières supposent (/>>/): il suffit, pour vérifier ces inégalités, de former les différences ^^^j + i — s.,^, (ou ^^^ — ^ip + i) S-iq — ^ip, ^23+1 • — S2p + i- Les sommes à indices pairs

§2, S ,^, S^, ..., S-2pj .-•

vont en croissant; elles restent inférieures à une somme quelconque d'indice impair 5,^4.1; elles tendent donc, lorsque leur indice augmente indéfiniment, vers une limite A, pour laquelle on a, quels que soient p el q,

s-ip < A < sog + 1 ;

les sommes à indices impairs

Sj, S^, Sg, ..., ^ip -\- i>

vont en décroissant et restent supérieures à une somme quelconque d'indice pair Siq ; elles tendent donc vers une limite B, pour laquelle on a, quels que soient p et q,

La condition lim. «„ =: o, c[ui n'est pas encore intervenue, con-

duit à la conclusion A ::= B ; en effet ces deux nombres sont

(') Les conclusions essentielles subsistent quand on ne suppose pas que le signe > exclut l'égalité.

compris entre s^^ et s^^^ x, dont la différence u,^j^ ^ peut être supposée aussi petite qu'on le veut.

Ainsi la série (U) est convergente : sa somme est plus grande qu'une somme quelconque s^j, à indice pair, plus petite qu'une somme quelconque s.,,jj^i à indice impair. En prenant pour la somme de la série la somme des n premiers termes, on commet une erreur en plus ou en moins, selon que le premier terme négligé est négatif ou positif et qui est moindre en A'aleur absolue que ce premier terme négligé, puisque la somme de la série est comprise entre la somme des n premiers et celle des /i + i premiers termes.

On aurait pu aussi établir la convergence de la série U en appliquant le caractère général du n° 94 ; la somme des m termes qui suivent le n® est en effet

(— l)" («» 4- l — ";; + 2 + • •• ± Un + m) ;

la quantité entre parenthèses est positive, en vertu du lemme, elle est moindre que k„ + i, puisqu'on peut l'écrire

Un 4- 1 («n + 2 "n -t- 3 "H • • • H= "n + "0

et que, dans cette dernière expression, la quantité entre parenthèses est positive en vertu du même lemme ; la valeur absolue de la somme des m termes est donc moindre que iin + j, et cela quel que soit m ; comme on peut, quel que soit le nombre positif z, prendre n assez grand pour que l'on ait

la convero'ence est démontrée.

Par exemple la série

est convergente sans l'être absolument. C'est une de ces séries dont la somme dépend de l'ordre dans lequel les termes sont écrits.

Voici un exemple de ce fait dont la raison a été donnée au n" 116. Si l'on pose