CHAPITRE III. RÈGLES DE CO>VERGE>CE

on établira sans peine l'identité

en faisant croître n indéfiniment, on voit que le premier membre a pour limite la moitié de la somme de la série proposée ; c'est dircque cette somme est double de la somme de la série suivante, dont la convergence s'établit sans peine,

Il est clair qu'une série appartenant au type qu'on a défini dans ce paragraphe peut être absolument convergente, telle serait la

série

III I

que l'on obtient en faisant x = — i dans la série déjà signalée

La règle qu'on vient d'établir a été invoquée d'avance aux n°^ 132, 135.

138. — D'autres propositions, d'une nature un peu plus cacbce, se déduisent d'un lemme dû à Abel ('), et que j'énoncerai aprèsavoir fait la remarque presque évidente que voici :

Soit

AjO^i + A^œ^ + ...-+- A^a-jj

une fonction linéaire des variables x^, x^, ..., Xn, dans laquelle les coefficients Aj, A^, ...;, A„ sont positifs ou nuls; si l'on considère deux systèmes de valeurs des variables x^, x.^, ..., Xn d'une part, x\, x'.,, ..., x[iàQ l'autre, tels que l'on ait £C- '^ x pour les valeurs 1,2, ..., /i de l'indice /, on a

k^x\ -H k^x[, -H ... H- knx'n ^ AjXj -f- Ao.T^ H- ... -t- A„a-„;

M Recherches sur la série i + - a;-4 ^ x- -\ ^ x-^-\-..^

{OEuvres, 2« édlt., p. 222).

20ll INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

en effet la différence entre les deux membres, à savoir

Aj {x[ — x^) H- A^(x'., — 3^2) -+-...-+- A„(x; — x„),

est évidemment positive ou nulle.

Yoici maintenant en quoi consiste le lemme d'Abel : Soient i\, V.2, ..., u„ des nombres positifs ou négatifs, a un nombre au plus égal au plus petit, A un nombre au moins égal au plus grand des nombres

S^ = v^, S^ == Uj -f- V^, ..., s,, = Vj -t-Vj -h ... -h i)„,

soient enfin Sj, s^, ..., £„, n nombres positifs rangés par ordre de grandeur décroissante, on aura

EjO^ Z(i\ H- t^V^ -f- ... + Z^^Vn ^ EjA;

en effet la quantité intermédiaire peut s'écrire

^i«l -^- ^2 («2 — Si) -+-••• + ^n {Sn — S„i)

= Si (Sj £2) + ^2 (^2 ^3) ~l~ ••• ~^ Sn-l {~n-i ^n) + S„e„;

les coefficients c^ — s.^, z^ — £3, ..-, £«—1 — £«. ..-, in étant positifs, on ne peut que diminuer le second membre de l'égalité précédente en y remplaçant s^, s.^, ..., s^ par a, on ne peut que l'augmenter en y remplaçant les mêmes quantités par A ; or on trouve ainsi e^a d'une part, £jA de l'autre; la proposition est donc démontrée.

Il résulte de là que si on désigne par K un nombre égal ou supérieur à la plus grande des valeurs absolues des nombres 5p S.2, ..., Sn, on aura

£)K^ EjVj -h £^^'2 H- ... -t- ht^n ^ EiK-j.

ou, si l'on veut,

I ^i^^i -+- -2^2 -H ••• + £„t'„ I ^ EjK.

139. — Voici maintenant deux conséquences de ce lemme (') : I. Soit

[v) l'i -h v.2 -+- ... -H Vn -1- ...

(') Voir le Mémoire de M. Darboux sur les fonctions discontinues. Annales de l'Ecole normale, 2® série, t. IV, p. 87.