II. Soit

une série convergente ou divergente, mais dans laquelle la somme des n premiers termes reste toujours, quelque soit n, inférieure en valeur absolue au nombre positif a, soit en outre

une suite infinie de nombres positifs tels que chacun d'eux soit égal ou inférieur à celui qui le précède, tels en outre que l'on ait

lim. £„ = o,

3a série

•est convergente.

On a en efifet, quels que soit n et p,

I i'„ + i H- i'„ + 2 -i- ••• -t- v„ + ;J < 2 a -et, en vertu du lemme,

or, à cause de la supposition lim. £„ == o, on peut supposer n assez

grand pour que 2 c„^ 1 a soit plus petit que tel nombre positif que l'on voudra. La convergence de la série (Y') est donc démontrée.

Le théorème du n" 137 n'est qu'un cas particulier de celui-ci ; il ■suffit pour s'en convaincre de remplacer les quantités Sj, z^,..., par les quantités Uj, 11.2,... et de prendre pour la série [v) la série <livergente

«dans laquelle la somme des n premiers termes est o ou i .

Considérons encore, en attribuant toujours le môme sens aux nombres c^, £1, ..., En, ... la série

Zq cos a -h £^ cos (a -i- a;) H- ... -+- e„ cos (a H- nx) -t- ...,

oii a et a? sont des nombres quelconques, dont le second, toutefois, n'est pas un multiple de tt. La convergence de cette série résulte de la formule

• n -h i I nx\

sin X cos a H- —

cos a H- cos (a H- a?) -h ... 4- cos (a -h nx) = ■ ~ -,

sln -

«t de ce que le second membre reste, en valeur absolue, moindre •que

sni —