FRACTIONS CONTINUES

140, — On a étudié, dans le Chapitre premier, les fractions eontiimes de la forme

où a„, tti, a,, ... étaient des nombres entiers positifs, à partir de a^. Rien n'empêche de considérer des expressions analogues, où la suite des quantités a^, a^, ..., rt„, ... est quelconque. Je me bornerai toutefois, sur les expressions de cette nature, à des remarques très élémentaires.

Les formules du n" 34, en particulier, ont été établies sans faire aucune hypothèse sur les quantités a^, a^^ ..., an :

Posons comme alors

Pq = Og, V^= a^a^ -Jr i, P« = Pn-i a,i ■+ P„2,

Qo=i, Qj = a,, Q«=Q«-i «« -+-Q„-2-

On aura

PnQ.i — P.-iQ. = f- !)"-•;

La n^ réduite, c'est-à-dire la valeur de la fraction continue limitée

P, à an sera .-^" et l'on aura

en sorte que, si l'on écarte le cas où l'une des quantités Q,, serait

P nulle, la question de savoir si la quantité jy tend vers une limite

revient à reconnaître la convergence ou la divergence de la série

QoQl QlQa"^--"^^ '^'"'Qn-lQn

qu'il est assez naturel d'appeler série équivalente à la fraction continue illimitée.

On dira que cette fraction continue est convergente ou divergente suivant que la série équivalente est convergente ou divergente.

141. — Il est bien aisé de voir que si la série 7 a„ est absolument convergente, la série équivalente à la fraction continue illimitée est divergente. On va voir en effet que, dans ces conditions, Q2J. et Qin + 1 ont des limites pour n infini.

Supposons d'abord que les quantités a^, a.^, ..., a,,, ... soient toutes positives; il en sera évidemment de même des quantités Qo, Qi, ... Qn, ... : or en se représentant Q„ sous la forme d'un polynôme en ai, a^, ..., a», on voit de suite que l'on a

si la série 7 a» est convergente, il en est de même du produit

infini TT(i 4- a-j) ; on voit déjà que Q« reste inférieur à un

nombre positif fixe.

D'ailleurs l'égalité Q» = Qn— 1 a« H- Qn-2, montre que l'on a Qn >■ Qn-2 et, par suite

(i) Qo^Q2<Q;<--' Qi<Q3<-Q5<-;

Qin, d'une part et Qon + i de l'autre, ont donc des limites pour n infini. Ces limites sont, en général, différentes, mais je ne m'arrête pas sur ce point.

Si les quantités a^, a.^, ..., a„, ... ne sont pas toutes positives, soit en général a'„ = | «n | et désignons par P,', , Qn les quantités formées avec a', a[, a[^, ... comme P», Q„ sont formés avec a„, tti, ttj, ... : Qn considéré comme un polynôme en a^, a^, a^, ... est une somme de monômes ayant tous des coefficients égaux à i ; d'ailleurs l'égalité Q» + 2 = Qn+ i an+ 1 -V- Qn montre que tous les monômes qui figurent dans Q,j figurent dans Qn+2, par conséquent dans Qn + 4, ... dans Qn + 2p : si l'on fait la différence