CHAPITUE III. FRACTIONS CO>'TI>'UES

Qn + 2p — Qn, il ne restera encore qu'une somme de monômes, dont la valeur absolue ne pourra qu'augmenter quand on remplacera les variables Oq» <^i' «2' ••• V^^' 1*^^^^ valeurs absolues ; on aura donc

On peut prendre n assez grand pour que le second membre soit aussi petit qu'on le veut, quel que soit p. Il résulte de là que Q„ tend vers une limite quand n augmente indéfiniment par valeurs paires, ou bien par valeurs impaires (n° 56), ici encore ces limites sont différentes. Quoi qu'il en soit, la divergence de la série équivalente à la fraction continue est assurée.

Si les quantités a^, a.^, ..., a„, ... sont toutes positives, et si la série ^ ttn est divergente, la série (i) et la fraction continue convergent.

Dans ce cas les quantités Q^, Qi, Q^, ... sont positives et vérifient les inégalités (i).

La série équivalente à la fraction continue est alternée, et il suffit pour prouver sa convergence, de montrer que les valeurs absolues de ses termes vont en diminuant, c'est-à-dire de prouver que l'on a

Q.Qn-l^Q.-lQn-/

ou Q„ >> Q„ 2, et que le n'- terme a pour limite o (n° 137). Les inégalités (i) montrent que les quantités Q^,, d'une part, les quantités Qan -1- 1 tle l'autre augmentent indéfiniment ou tendent vers une limite ; mais il ne peut pas arriver que Ç)>n et Qin+ 1 tendent à la fois vers une limite : en effet, la série 7 an étant divergente, il en est de même de l'une au moins des deux séries

de la seconde par exemple. Or les relations

Qan - Qo = (Q2 - Qo) + (Q4 - Q.) + -. -4- (Q2., - Q..-2) = fl,Q, -+- a.Q^ H- ... -h nmQin-i

>Qi (s +«4 + ••• -t- «i'O

Tannert I. — Introtluolion à la lliéoiie des fonctions 14

montrent, puisque dans le dernier membre, le coefficient de Q, peut être supposé aussi grand qu'on le veut, que Qon ne peut tendre vers une limite. Si même Q-in+i. avait une limite pour n infini, comme cette limite ne pourrait être nulle, on n'en aurait pas moins

lim.

n = oo Qin Qln + 1

et cela suffit pour la convergence de la série (i).

Ainsi, dans le cas où a, , a^, . . . , a„, . . . sont tous positifs ; la divergence de la série ^«n est une condition nécessaire et suffisante pour la convergence de la fraction continue.

142. — On peut considérer, d'une façon plus générale, les fractions continues telles que

où a,), fli, ..., a„, ..., d'une part, b^, b.2, ..., bn, ..., d'autre part, forment deux suites quelconques.

Je me bornerai, pour ces fractions continues, à quelques remarques qui ne touchent guère que la forme.

En conservant le nom de réduite à la fraction continue limitée

au terme — , et en désignant cette fraction par —, on peut poser

3?o = Oq, ili = a^a^ -^ b^, '£n = ^n- l «« + ^n- 2 bn,

%= i, %=^a,, % = S„ - 1 a„ -h 2„2 hn.

^m % peuvent être regardés comme des polynômes formés avec les variables a^, a^, ..., an', b^, b^, ..., bn. '^n et 2„ ont un sens quelles que soient les valeurs numériques attribuées à ces variables, en

sorte que la fraction — a un sens, pourvu que Qn ne soit pas nul. (Il

n'en serait pas de même de la n^ réduite, définie comme une fraction continue limitée, si a,, était nul).

Si l'on désigne par ^„,r, 2„„. les polynômes formés au moyen des variables