CHAPITRE IV. DES FONCTIONS EN GENKUAL

lettre flî d'une IcLti-e [/(■^), ''-^{x), g(x) ...] ou d'un asscmLlagc de lettres [log x, sin x, ...].

149. — Dans la tlicorie des nombres, on considère un très grand nombre de fonctions qui sont définies dans l'ensemble des nombres naturels. Telles sont le nombre des nombres premiers et non supérieurs à n, que l'on désigne babituellement par '^ (/?), le nombre ou la somme des diviseurs de n, etc. La lettre n joue ici le rôle de la variable x.

a étant un nombre positif donné, on définit d'abord a'^ comme le produit de x facteurs égaux a a : cette définition n'a de sens que si X est un nombre naturel ; la fonction a"^ est d'abord définie dans l'ensemble des nombres naturels ; on la définit ensuite dans l'ensemble des nombres rationnels : elle sera définie plus tard dans l'ensemble des nombres réels.

Une table de logarithmes définit une correspondance entre les nombres naturels, depuis i jusqu'à looooo, par exemple, et certains nombres qui en sont dits les logarithmes : elle définira donc, dans l'ensemble des nombres naturels de i à 100000, une certaine fonction de x^ dont la différence avec la fonction logx, qui sera définie plus tard est au plus égale à une demi-unité du dernier ordre décimal.

L'ensemble (X) peut être un intervalle : par exemple, la fonction ^i — x'^ est définie pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle ( — i, -1- i). Il peut être l'ensemble des nombres réels ; par exemple la fonction x- est définie pour toutes les valeurs de x.

150. — La fonction y = f{x), déterminée dans l'ensemble (X) est dite bornée, en haut ou en bas, si l'ensemble (\) est borné en haut ou en bas. Sa borne supérieure, ou sa borne inférieure, dans l'ensemble (X), est la borne supérieure ou la borne inférieure de (Y) ; la fonction est dite bornée (') sans épithète-

(1) Le fait que la fonction f{x) est déterminée dans l'ensemble (X), par exemple dans l'intervalle (o, i) n'implique nullement que la fonction soit bornée dans cet intervalle : Ainsi une fonction de x qui serait égale à i pour

X = 0, k - pour toutes les autres valeurs de l'intervalle ne serait pas bornée on haut dans l'intervalle considéré.

222 INTRODUCTIO^î A LA THEORIE i:;ES FO:s'CTIO>"S

thète si l'ensemble (Y) es^boxné en haut et en bas. Il en sera certainement ainsi si la différence entre deux éléments quelconques de (Y), c'est-à-dire entre deux valeurs quelconques de la fonctiony(aî), reste moindre en valeur absolue, qu'un nombre positif fixe. L'écart de la fonction, dans (X), est alors la différence M — m entre les deux bornes : c'est l'écart de Tensemble (Y) (n° 48). Ces diverses notions donnent lieu à la remarque que voici :

Soit (X') un ensemble de valeurs de x contenu dans (X) , la fonction f{x) déterminée dans (X) est, par cela même déterminée dans (X'), et l'ensemble (Y') de ses valeurs dans (X') est évidemment contenu clans (Y). Si la fonction /(x-) est bornée en haut ou en bas, dans (X), elle est aussi bornée, en haut ou en bas, dans{X'). Sa borne supérieure M' dans (X') est plus égale à sa borne supérieure M dans (X) ; sa borne inférieure m' dans (X) est au moins égale à sa borne inférieure m clans (X). Son écart M' — ni clans (X') ne peut dépasser son écart M — m dans (X).

151. — La façon dont se comporte une fonction /(a:) aux environs d'un point d'accumulation a de l'ensemble (X) dans lequel elle est définie offre un intérêt particulier, et il convient d'introduire de suite, à ce sujet, quelques définitions et notations essentielles.

Que le point d'accumulation appartienne ou non à cet ensemble,

on dit que la fonction f(x) tend vers la limite A c[uand x tend

vers a, ou plus brièvement que /(ce) admet au point a la limite A^

et l'on écrit

lim. /"(x) = A,

pour dire, en gros, que la valeur de la fonction f(x) est très voisine du nombre A, lorsque le nombre x, que l'on suppose toujours appartenir à l'ensemble (X), est très voisin de a, et d'une façon précise que, quelque petit que soit le nombre positif s, il lui correspond un nombre positif yj tel que l'on ait | f[x) — A | ■< £ pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X) et satisfont à la condition \ x — a | <C vî-

S'il en est ainsi, la limite A appartient à l'ensemble (Y) des valeurs distinctes de f{x), ou bien est un point d'accumulation de cet ensemble, puisque, autrement, on pourrait regarder A comme le centre d'un intervalle (A — a, A -h a) auquel n'appartiendrait