GIIAPITUE IV. DES FONCTIONS EN GÉNÉRAL

aucun point de (Y), en sorte que l'on aurait, pour tout [)oinl

xdciX), \f{x) — A. |>a.

En supposant toujours que l'on aitlim/(cc) = vV, il est clair

que si jc,, x.,^ Xn, forment une suite infinie de nombres appartenant à (X), et admettant a pour limite, on aura lim. /(xn) = A ;

n = yo

mais l'existence d'une suite de nombres x^, x^, ..., x„, ... appartenant à (X), telle que l'on ait lim. Xn = a, lim. f{x„) = A n'im-

plique pas que la fonction /(./;) admette A pour limite au sens que l'on a donné à ce mot ; on conçoit en effet que, en dehors des points .r,, x^, ..., x„, ..., il puisse y avoir, dans l'ensemble (X), des points très rapprochés de a, et pour lesquels la fonction y (.r) nesoit pas voisine de A.

La remarque suivante est évidente : si l'on a lim. f{x) = A et

si l'on a, pour les valeurs de x appartenant à (X), /(./,•) >> B, ea désignant par B une constante, on aura A à B.

152. — Lorsque le point d'accumulation a appartient à (X), la fonction f[x) a en ce point une valeur déterminée f{a). Si la fonction/(a;) admet en ce point une limite A, au sens qu'on vient d'expliquer, cette limite ne peut différer de /(a) ; puisque l'inégalité I f{x) — A j "< c doit être vérifiée, quelque petit que soit le nombre positifs, par la valeur x ^= a^ qui satisfait à l'inégalité \ X — a I <C vj, quelque soit le nombre positif v^. Lorsque le pointd'accumulation a appartient à (X) et que l'on a, au sens précisé plus haut, lim. f(x) = /{(>■), on dit que la fonction f[x) est

continue au point a. Si l'on n'a pas \im.f(^x):r^f{a) la fonction est

discontinue au point a. On ne parlera de la continuité ou de la discontinuité d'une fonction en un point, c|ue si ce point est un point d'accumulation de (X), contenu dans (X).

153. — De même qu'on a précisé la signification de l'égalité lim./(j:), on précisera la signification des égalités symboliques

lim. /(.r) = 4- 00 , lim. /(.r) = oo , lim. | f(x) | = -h ^c ,

La première, par exemple, veut dire que quelque grand que soit le nombre B, il lui correspond un nombre positif Vy tel que l'on ait f[x) > B, pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X) et vérifient la condition \ x — a \ <i'ri. S'il en est ainsi, a ne peut appartenir à (X) ; car, si a appartenait à (X), la fonction /, a;) aurait en ce point une valeur déterminée /(a) et en prenant B supérieur à /(a), on ne pourrait avoir fix) > B pour la valeur o? = a qui satisfait à la condition \ x — a I <C Vy, quel que soit le nombre positif r, .

On remarquera encore que, si l'on a lim. f{x) = -i- oc et si

£Cj, «2, ..., Xn, ... forment une suite infinie de nombres, tels que l'on ait lim. Xn = a, on aura lim. /{x^) = 4-00 ; mais l'existence

d'une pareille suite de nombres n'implique pas que l'on ait

lim . f{x) = -h co .

De même si (X) n'est pas limité en haut ou en bas, on pourra préciser le sens des égalités symboliques

lim. f[x) = A, lim. f{x) = -\-cc , lim. f(x) = — co ,

lim. f(x) = A, lim.y(a:) = -+- 00, lim. f(x) = — go .

x^ — X x = — co x= — co

La dernière, par exemple, veut dire que quelque grand que soit le nombre positif B, on peut lui faire correspondre un nombre positif C, tel que l'on ait /(a;) < — B, sous la condition que x appartienne à (X) et que l'on ait£c<C — C. Je crois inutile d'insister davantage.

154. — La notion de fonction, telle qu'elle a été présentée plus / haut, est très générale ; elle se réduit au fond à une correspondance entre deux ensembles ; on va toutefois la généraliser encore. Je dois prévenir le lecteur que cette généralité qu'on recherche ici, on la recherche moins pour elle-même qu'en vue d'éviter d'insupportables répétitions dans l'étude des fonctions particulières ; elle permet d'ailleurs de distinguer nettement les suppositions sur lesquelles s'appuie chaque démonstration, et de ne faire intervenir,

CIIAI'ITIIK IV, •^- Om l'O.NCTIONS liN GKNIOUAr, au.)

dans les dcmonslralions, que les suppositions mcinc. On reste ici dans un domaine purement logique.

L'idée de fonction peut être généralisée dans diverses directions: il est clair en effet qu'aux ensembles de nombres (X), (Y) qu'on a considérés jusqu'ici, on peut substituer d'autres ensembles.

Tout d'abord, au lieu de partir d'un ensemble de nombres (X), on peut partir d'un ensemble dont les éléments soient des systèmes de nombres, et faire correspondre un nombre à chacun de ces éléments : on parvient ainsi à la notion d'une fonction de plusieurs variables ; je me bornerai aux fonctions de deux variables, l'extension aux fonctions de trois, quatre... variables étant immédiate ; je ne dirai d'ailleurs de ces fonctions de deux variables, pour le moment, que ce qui est indispensable pour l'étude des fonctions d'une variable, où l'on ne peut empêcher qu'elles interviennent de temps en temps.

Partons d'un ensemble (XY) dont chaque élément soit un système de deux nombres, rangés dans un ordre déterminé : on regarde le premier des nombres qui figurent dans chaque système comme une valeur attribuée à une lettre (ou variable) x, et le second comme une valeur attribuée à une autre lettre (ou variable) y. En disant, comme d'habitude, que tous les éléments de (XY) sont distincts, il faut entendre que, si les systèmes des deux nombres x^, jj et x^, y^ sont des éléments de(XY), on n'a pas à la fois x^ = X2 et y^=y^.

Supposons maintenant qu'à chaque élément de (XY) corresponde un nombre qu'on regardera comme une valeur attribuée à une lettre z ; on dira que z est une fonction de x, y déterminée dans (XY). Les valeurs distinctes de z forment un ensemble (Z) dont chaque élément correspond à un élément de l'ensemble (XY). Celui-ci peut d'ailleurs être constitué de façons très diverses : je reviendrai sur l'étude d'ensembles de cette nature, étude que facilitera l'emploi du langage géométrique ; je ne veux signaler que deux cas spéciaux, le cas où chaque système de deux nombres qui constitue un élément de (XY) est formé de l'un quelconque dès nombres x qui appartient à un ensemble de nombres (X), et de l'un quelconque des nombres y qui appartiennent à un ensemble de nombres (1), et le cas plus particulier où l'ensemble (X) se réduit à un intervalle (a, a') et l'ensemble (Y) à un inter-

'fANNÈiiT I — Introduction à la Ibéoi'ie des fonctions 15

valle (6, b') ; dans ce dernier cas chaque clément de l'ensemble (XY) est un système de deux nombres x, y qui vérifient les conditions a ^ x ^ o! , h S y ^ h' et chaque système de deux nombres x, y qui vérifient ces conditions est un élément de l'ensemble (XY) : à chacun de ces éléments correspond une valeur de la fonction z =i f{x, y), qui est ainsi déterminée pour tous les systèmes de valeurs de x, y qui vérifient les conditions précédentes. C'est, pour les fonctions de deux variables, la notion qui correspond à celle d'une fonction d'une variable déterminée dans un intervalle.

Par exemple, un polynôme en x, y est évidemment une fonction déterminée dans n'importe quel ensemble (X^) constitué Comme on vient de l'expliquer.

Si l'ensemble (Z) des valeurs distinctes de z est borné, on dira que la fonction z =^ f{x, y) est bornée dans l'ensemble (XY) : les définitions de la borne supérieure ou inférieure, de l'écart de la fonction dans cet ensemble sont les mêmes que pour les fonctions d'une variable.

155. — Revenons à un ensemble (X), dont chaque élément est un nombre ou un point, une valeur attribuée à la variable x. On peut faire correspondre à chaque élément de (X) un ensemble de nombres 8 (aj) ; on arrive ainsi à la notion d'un ensemble-fonction de rc, déterminé dans l'ensemble (X), c'est-à-dire pour chaque valeur de x appartenant à (X) .

Par exemple l'ensemble des nombres premiers non supérieurs à Un nombre naturel n, l'ensemble des diviseurs d'un nombre naturel 71 sont définis dans l'ensemble des nombres naturels. L'ensemble des nombres premiers dont le premier chiffre est x est défini dans l'ensemble (X) des nombres i, 2, 3, ..., 9. L'ensemble 6 (x) des nombres plus petits que x, est défini dans l'ensemble (X) des nombres réels. L'ensemble des nombres dont le carré est plus petit que X est défini dans l'ensemble (X) des nombres positifs, etc.. Un intervalle (a, x) dont une borne a est donnée, peut être regardé comme un ensemble-fonction de l'autre borne x.

Il n'y a aucune difficulté de plus à concevoir des ensembles qui dépendent, de deux, trois... variables. Je ne m'y arrêterai pas.

Si l'ensemble £ [x) déterminé dans l'ensemble (X) est borné en