CHAPITRE IV. DUS l^ONÛTIONS EN GÉ-NÉHAL

liaut, par exemple, pour cliaque valeur clc x appaiicnanl à (X), il est clair que sa borne supérieure sera une fonction de x dans (Xj, de même sa borne inférieure, ou son écait, si, pour cbarjue valeur de X, appartenant à (X), l'ensemble S (rr) est borné en bautet en bas.

Voici une proposition, où interviennent ces notions, qui nous sera souvent utile,

156. — Soit (A) un ensemble de nombres positifs dont o soit un point d'accumulation ; je suppose essentiellement que o ne fasse pas partie de (A). (A) pourra être par exemple l'ensemble des inverses des nombres naturels, ou l'ensemble des nombres positifs (non nuls) qui sont inférieurs à un nombre donné. Regardons les nombres qui constituent (A) comme des valeurs attribuées à la variable s. Quand il sera question plus loin d'une valeur de c, telle que Sqj £i> ^ -, •••, il sera toujours entendu que cette valeur fait partie de l'ensemble (A). C'est d'ailleurs les valeurs de s voisines du point d'accumulation o qui vont intervenir.

Soit 8 (s) un ensemble de nombres déterminé pour cbaque valeur de £ [appartenant à (A)J : 8 (s) est un ensemble-fonction de è déterminé dans (A). Je suppose essentiellement, sur l'ensemble 8 (s), qu'il existe, c'est-à-dire qu'il contient des éléments en nombre fini ou infini, pour chaque valeur £ de (A). Je suppose en outre que l'ensemble 8 (s) satisfasse aux deux conditions suivantes :

1° Si l'on a s' > s", l'ensemble 8(2') contient l'ensemble ê(£").

2° L'ensemble 8 (s) est borné en baut et en bas, quelque soit le nombre £, appartenant à (A). — Il convient d'observer que, en vertu de la première condition, si l'ensemble 8(c(,) est borné, il en est de même de tous les ensembles 8(£) pour lesquels £ est plus petit que £0.

Je désignerai par L(£), /(c) la borne supérieure et la borne inférieure de l'ensemble 8 (î). En vertu de la condition 1°, on a, en supposant £' >> s" (n" 46)

L(s')^L(s")^/(e")^/(sO;

De ces inégalités même, il résulte que, si £" est plus grand que £', on a encore L(£") ^ /(£') ; en d'autres termes, cette inégalité subsiste quels que soient les 'nombres z , s" : l'ensemble des

valeurs de la fonction L (s), définie dans (A), est formé de nombres supérieurs ou égaux à ceux qui constituent l'ensemble des valeurs de la fonction /(s) définie dans le même ensemble : la fonction L(£) est bornée en bas ; soit L sa borne inférieure ; la fonction / (s) est bornée en haut, soit / sa borne supérieure. Il est clair qu'on a/sL.

Il est bien aisé de voir que L et / sont les limites respectives, pour c = G, des fonctions L(£), /(s).

En effet, L étant la borne inférieure de l'ensemble des valeurs distinctes de L(£), il y a des valeurs de L(£) qui sont aussi rapprochées qu'on voudra de L ; en d'autres termes, quelque petit que soit le nombre positif a, il y a, dans (A), un nombre e' tel que l'on ait L ^ L(£') < L H- a. Pour les valeurs de £ inférieures à £', L(£), toujours supérieur (ou égal) à L, est inférieur (ou égal) à L(£') et par suite inférieur à L H- a : ainsi, à chaque nombre positif a correspond un nombre positif s', tel que l'on ait o^L(£) — L-<a, pour toutes les valeurs de s, moindres que e', qui appartiennent à (A) : cela revient à dire que l'on a lim. L(£) = L; l'égalité

lim. /(£)=/ se démontre de la même façon.

Ces préliminaires posés, mon objet principal est la démonstration du théorème suivant :

Sous les conditions imposées 'aux ensembles &(c), on peut affirmer l'existence d'un nombre (ou d'un point) k, qui appartient à la fois à tous les ensembles 8(£), ou qui est un point d'accumulation pour chacun de ces ensembles ; rien n'empêche d'ailleurs que le point k appartienne à la fois à tous les ensembles 8(£) et soit en même temps un point d'accumulation pour chacun d'eux.

Il peut y avoir plusieurs points k, jouissant de la propriété qu'on vient de définir ; ces points forment un ensemble qui, s'il est infini, est clos ; les nombres L et / sont respectivement les bornes supérieure et inférieure de cet ensemble.

Avant de passer à la démonstration abstraite de ce théorème, le lecteur fera bien de se le représenter sous la forme géométrique : chaque ensemble è{z) est un ensemble de points sur l'axe des abscisses, points dont chacun appartient à l'intervalle [l{c), L(£)] ; quand s diminue, l'ensemble ê(£) et l'intervalle [/(£), L(£)] se resserrent, en quelque sorte, et, quand £ est très petit, cet inter-