CHAPITRE IV, DES FONCTIONS EN GÉNÉnAL

valle est très voisin de l'intervalle (/, L) qu'il contient d'ailleurs ; dans l'intervalle [/(c), L (c)], il y a certainement des |)oints qui appartiennent à l'ensemble &{i) et, par conséquent, aux ensembles analogues pour lesquels s est plus grand, dans l'intervalle (/, L), qui est, au sens géométrique, la limite de l'intervalle [/(ô), L(3)J, il y a des points k qui sont à la fois des points de tous les ensembles g(c), ou des points d'accumulation de tous ces ensembles. Les points k de la piemière espèce sont, en quelque sorte, le résidu de tous les ensembles g(c), quand £ tend vers o ; autour des points /j de la seconde espèce, les points de l'ensemble g(c) ne cessent pas, en quelque sorte, de s'entasser lorsque s tend vers o.

Pour prouver l'existence d'un nombre k, je prouverai que le nombre L jouit des propriétés qui lui sont attribuées, c'est-à-dire que, en désignant par c^ un élément quelconque de (A), L est un point de 8(co) ou un point d'accumulation de &{cq).

En effet, quel que soit le nombre s appartenant à (A), L{î) est, soit un point de 8 (s), soit un point d'accumulation de 8(c) ; supposons dans ce qui suit s < £„, l'ensemble 8(2) étant contenu dans 8(£o). L(£) est aussi soit un point de 8(£o)> soit un point d'accumulation de 8(£o) : il faut bien qu'il en soit de même de la limite L de L(£) pour £ = o : car, si le point L n'appartenait pas à 8(£o) et n'en était pas un point d'accumulation, on pourrait (n" 49) le regarder comme le centre d'un intervalle (L — a, L + a) qui ne contiendrait aucun point de 8(£„) et aucun point d'accumulation de 8 do), ni par conséquent aucun point des ensembles 8 (s), non plus qu un point d'accumulation de l'un de ces ensembles, puisqu'ils sont tous contenus dans 8(£„) ; cet intervalle ne contiendrait donc aucun des points L(£), qui, pour £ suffisamment petit, sont aussi voisins qu'on le veut de leur limite L. La contradiction est évidente. Le raisonnement précédent s'appliquerait aussi bien à /.

Ainsi il y a des nombres k {L et l par exemple) qui jouissent de la propriété suivante : Quel que soit l'élément £0 de l'ensemble (A), le point k est ou un point de 8(£o) ou un point d'accumulation de 8(£o)- Si maintenant /.-n'appartient pas à 8 (£0), il n'appartient pas non plus aux ensembles 8 (£) pour lesquels on a £ < £„, puisque tous ces ensembles sont contenus dans 8(£o) ; pour tous ces ensembles, k est un point d'accumulation ; il est aussi un point d'accumulation pour l'ensemble 8(£) si £ est plus grand que £0. puisque

2ÔO INTRODUGTIOIV A LA. TFIEORIE DES FONCTIONS

cet ensemble contient alors 8(2^): k est un point d'accumulation pour tous les ensembles 8(c). Il est donc vrai que le point k appartient à la fois à tous les ensembles 8 (s) ou bien est à la fois un point d'accumulation pour tous ces ensembles.

Puisque l'on a, quelque soit s, l{c) g A: ^ L [i), on voit, en faisant tendre s vers o, que l'on a / ^ /t s L.

Je désignerai par 8 (o) l'ensemble des points k, précédemment définis. Cet ensemble se réduit évidemment à un point lorsque l'on a L = /.

Dans ce cas, il est clair que toute fonction y (s) déterminée dans l'ensemble (A) et telle que l'on ait, pour chaque valeur £ de fA), /(s) ^/(s) S L (s)» jouit de la propriété lim. /(s) = L = /.

C'est une généralisation manifeste d'une proposition établie au n« 58.

S'il y a un nombre infini de points k, l'ensemble 8(0) est clos, c'est-à-dire qu'il contient ses points d'accumulation.

En effet si Âq est un point d'accumulation de 8 (o), il y a aux environs de /•'(,, et aussi près de k^ qu'on le veut, des points k, lesquels sont, soit des points de l'ensemble 8(2), soit des points d'accumulation de cet ensemble ; dans tous les cas, il y a des points de 8 (o) qui sont aussi près qu'on le veut de A"^ ; donc k^J est un point d'accumulation de 8 (c) ou un point de cet ensemble. ■Ceci ayant lieu quelque soit £, il faut bien que k^ appartienne à l'ensemble 8 (o). On savait déjà que cet ensemble 8 (o) contient ses bornes supérieure et inférieure L, /.

Si // est un point qui n'appartienne pas à l'ensemble 8 (o), on peut affirjner qu'aux environs de ce point, il n'y a plus de points de l'ensemble 8 (c) pourvu que c soit inférieur à un nombre suffisamment petit s'. En effet parmi les ensembles 8 (s) il y en a certainement un 8 (c') tel que A' ne soit ni un point de 8 (s') ni un point d'accumulation pour 8 (s'), car, autrement k' appartiendrait à l'ensemble 8 (o). Dès lors, il existe (n° 49), un intervalle [k' — a, k' -\-a) dont k' est le centre, et auquel n'appartient aucun point de 8 (c'), non plus qu'aucun point des ensembles 8 (s) pour lesquels on a £ <i s', puisque tous les points de ces derniers ensembles appartiennent à 8 (£').

Le théorème qu'on vient d'établir prend une forme un peu plus simple quand tous les ensembles 8 {£) sont clos.

CITAPITRE IV. — DTîS FONCTIONS EN GKNKBAL 9.3 1

On peut alors affirmer sous la condition i° l'existence d'un ensemble ë (o) dont tous les points appartiennent ù la fois à tous les ensembles B (s).

On aurait pu d'ailleurs se borner à la démonstration du théorème général dans ce cas particulier :

Le lecteur reconnaîtra en effet sans peine que le cas général se ramène au cas particulier, en remplaçant Tensemblc 8 (s), satisfaisant aux conditions i" et 2", par l'ensemble clos 8 (s) -i- 8' (s) dont les éléments appartiennent soit à 8 (s) soit à son ensemble dérivé 8' (s).

Dans plusieurs des applications qui vont suivre, l'ensemble (A) des valeurs de s sera formé de tous les nombres positifs (à l'exclusion de o) qui sont inférieurs à un nombre positif fixe A.

Dans le cas où l'ensemble (A) se réduit à l'ensemble des inverses des nombres naturels, le théorème général peut être énoncé sous la forme que l'on va dire. Le lecteur pourra démontrer le théorème sous cette forme, et en déduire ensuite l'énoncé général.

Soit

une suite infinie d'ensembles de nombres ou de points : on suppose que chacun de ces ensembles existe, c'est-à-dire que 8„ contient des points, en nombre fini ou infini, quel que soit le nombre naturel n ; on suppose ensuite que 8„ contient 8^ si l'on sm <ip, et que 84 est borné ; il en résulte que tous les ensembles suivants sont bornés.

Dans ces conditions, il existe un ensemble 8u) composé d'un nombre fini ou infini de points, dont chacun est soit un point commun à tous les ensembles 81, 83, •••, soit un point d'accumulation commun à tous ces ensembles.

157. — L'importante notion de la continuité en un point d'accumulation a de (X) s'éclaire en étudiant la façon dont se comporte en général une fonction f[x); déterminée dans l'ensemble (X) pour les valeurs de la variable très voisines d'un point d'accumulation a, soit d'ailleurs que ce point appartienne à (X), soit qu'il ne lui appartienne pas.

En supposant seulement que la fonction f[x) soit bornée aux environs de ce point, c'est-à-dire qu'il existe un nombre positif A

tel que la fonction f{x) soit bornée dans l'ensemble des valeurs de X qui appartiennent à (X) et à Tintervalle [a — A, a -h A), je vais montrer qu'il existe un ou plusieurs nombres k, jouissant de - la propriété suivante : quelque petits que soient les nombres positifs a, ]3 il y a des nombres x appartenant à (X) tels que l'on ait à la fois

en sorte que, pour les valeurs de x appartenant à (X) et très voisines de a, les valeurs de f{x) se serrent en quelque sorte autour de l'un ou de l'autre des nombres k, avec lesquels d'ailleurs elles peuvent coïncider : l'ensemble des nombres k, s'il est infini, est clos.

Soit £ une variable positive, inférieure ou égale à A, la fonction f{x) est déterminée et bornée dans l'ensemble (Xg) des valeurs de x qui appartiennent à la fois à (X) et à l'intervalle (a — s, a + s), dont le point a est le centre; désignons par 8 (s) l'ensemble des valeurs distinctes qu'elle prend dans cet ensemble (Xs), par L (s), /(c) les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble 8 (s). On reconnaît de suite que les ensembles 8 (c), définis pour les valeurs positives de z qui sont inférieures ou égales à A, satisfont aux conditions du n° 156. Il existe donc un ensemble 8 (o) de nombres dont chacun est un point commun à tous les ensembles 8 (s), ou bien un point d'accumulation pour chacun de ces ensembles : les bornes inférieure et supérieure L et / des fonctions L (c), / (c) définies dans l'ensemble des valeurs de s qui vérifient les conditions A^£ >o appartiennent à cet ensemble 8(o), dont elles sont les bornes supérieure et inférieure.

Soit k un élément de cet ensemble; dans tout intervalle (a — s, a + c), si petit que soit le nombre positif s, il y a une valeur de x appartenant à (X), pour laquelle la valeur de y (aï) diffère aussi peu qu'on le veut de A^; d'une façon plus précise, si l'on se donne deux nombres positifs a, |5 aussi petits qu'on le veut, 1 existe un nombre x pour lequel on a à la fois

c'est ce qui arrivera en particulier si a appartient à (X) et si l'on a f{a) = k, puisque, alors, les deux inégalités précédentes sont

CIIAl'lTHE rV. DKS FONCTIONS EN GFCNÉHAL 2.33

vérifiées pour x =-. a. Dans tous les cas, il y aura une suite infinie de nombres x-j, x.^, ..., ./;„, ... tels que l'on ait lim. Xn = a,

lim. f{xn) = k. Dans l'hypothèse f{a) = A', on pourra prendre

tous les nombres x^, x^, ..., Xn, ... égaux à a. Lorscpje cette supposition n'est pas vraie, il n'est pas difficile de voir qu'on peut supposer tous les nombres Xi, x.2, ..., Xn, ... différents entre eux. Quoi qu'il en soit, si 8 (o) contient un autre nombre k' différent de k. il y aura une autre suite infinie x'i, x',, ..., x,',, ... appartenant aussi à (X) et telle qu'on ait lim. ,//„ = a, lim./(a;'„) == //.

Bien entendu, si l'ensemble g(o) contient plus d'un point /■', on ne peut pas écrire, au sens du n° 151, Vim. f[x) = k.

Au reste, il est clair que les éléments de l'ensemble 8(o) sont seuls à jouir des propriétés qu'on vient de spécifier, puisque si ki n'appartient pas à l'ensemble 8(o), on peut (n° 156) fixer deux nombres positifs a, |3 tels que l'on ait | f{x) — A;, | >> fj pour tous les points x de (X) qui sont à une distance de a moindre que a.

En particulier, il y a des points x', x" dans (X) aussi rapprochés qu'on le veut de a et tels que la différence /(ce") — /(•^') soit aussi voisine qu'on le veut de L — /.

Donc, pour que/(x') admette une limite au point a, il fiiut que l'on ait L = /. Cette condition est d'ailleurs suflisante. Si, en effet, on désigne par a un nombre positif quelconque, on peut lui faire correspondre un nombre positif s' tel que l'on ait à la fois L(c') < L -f- a, /(;') > / — a ; ces inégalités subsistent en remplaçant L(c') et /(c') par/(x) si l'on suppose que x appartienne à la fois à (X) et à l'intervalle (a — s', a 4- c) puisque l'on a alors l{c) ^f{x) ^ L(£'). On aura donc, en supposant L = /,

SOUS la condition que a? appartienne à (X) et soit à une distance de a moindre que c' ; cela revient à dire que l'on a

lim./(.T) = L.

Lorsque l'on a L == /, l'ensemble 8(o) se réduit évidemment au seul nombre L.

158. — Quand la fonction f{x), bornée aux environs de a, n'admet pas de limite en ce point, on peut d'après ce qu'on vient de dire, trouver dans (X) des points x' , a?" aussi voisins qu'on le voudra de a, tels que la valeur absolue de la différence /(a;') — /(a?") dépasse tel nombre fixe, inférieur à L — /, que l'on voudra : Si donc on ne peut trouver de tels points x' , x", c'est que la fonction f[x) admet une limite au point a. En d'autres termes :

Pour que la fonction f[x) admette une limite au point d'accumulation a, il faut et il suffit qu'à chaque nombre positif a corresponde un nombre positif z tel que l'on ait \f{x") — /(^') 1 < ce, pourvu que les points x', x" appartiennent à (X) et soient à une distance de a moindre que s.

Il n'est pas utile de dire dans cet énoncé que la fonction f[x) doit être bornée aux environs de a ; elle Test certainement en vertu des conditions imposées, puisque si l'on choisit un couple de nombres correspondants «o, £o, l'écart de la fonction f{x), dans l'ensemble des points de (X) qui appartiennent à l'intervalle (a — Sq, a -h cy) est au plus égal à a^.

La forme de la condition nécessaire et suffisante pour que la fonction /(x) ait une limite au point d'accumulation a est une généralisation manifeste de la condition du n" 56 pour qu'une suite iii, 11.^, , Un, ... ait une limite ; elle peut d'ailleurs se déduire aisément de cette condition, sans passer par l'étude qu'on vient de faire. En effet, tout d'abord, il est clair que la condition imposée pour l'existence d'une limite est nécessaire : si maintenant, on la suppose vérifiée et si l'on désigne par Xi, x^, ..., x„, ... une suite de points appartenant à (X) qui ait pour limite le point a, la suite f{x^), f{x.^], ..., f[xn), ... devra, d'après le n" 56, avoir une limite ; soit h cette limite ; si l'on choisit le nombre naturel p tel que l'on ait | ajn — a | ■< 2 sous la condition n^ p, on devra avoir \f{x) — /(«„) | ■< a, pourvu que x appartienne à (X) et que les conditions n'^ p, \ x — a \ <i e soient vérifiées ; en faisant croître n indéfiniment, on en conclura | f(x) — b \ ^ a, sous la condition que x appartienne à (X) et vérifie la condition \x — a | <C £ ; il est clair que b est la limite de/(x), pour le point a, au sens du / n° 151.