CHAPITRE IV. — DES FONCTIONS EN GÏîNÉRAL Vt'.iî

d'accumulation a de l'ensemble (X), pourvu que la fonction /(.x) soit bornée aux environs de ce point.

Par conséquent, si l'on suppose que l'ensemble (X) dans lequel la fonction /(a;) est déterminée soit clos, et que la fonction /(x) soit bornée dans cet ensemble, on pourra attacher à chaque point d'accumulation a un certain ensemble Êa(o), dont on a expliqué les propriétés au n° 157, et en particulier les bornes L„, /„ de cet ensemble. Celles-ci s'appellent les bornes supérieure et inférieure de la fonction /(a?) au point d'accumulation a ('). L^ — /„ est l'écart ou la discontinuité de la fonction en a. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f{x) soit continue au point d'accumulation a consiste en ce que l'écart de la fonction, en ce point, soit nul. Si l'on veut attribuer un sens à ces quantités L«, L pour un point isolé a de (X), on les regardera comme égales à /(a), on regardera l'ensemble ê„(o) comme se réduisant au seul point /(a).

Imaginons par exemple une fonction de x définie comme il suit dans l'intervalle (o, i). Pour x = o, f{x) est nul; il en est de même pour toutes les valeurs rationnelles de x qui, mises sous forme d'une fraction irréductible, ont un dénominateur impair ; pour les autres valeurs rationnelles de x, f(x) est égal à i ; enfin pour les valeurs irrationnelles de x,f(x) est égal à 2. Tout pointa de l'intervalle est im point d'accumulation, la fonction f{x) y a une des trois valeurs o, i, 2 ; mais il est clair qu'on peut trouver dans le voisinage du point a, aussi près de lui qu'on voudra, des points pour lesquels la fonction est égale soit à o, soit à i, soit à 2. L'ensemble 8 (o) se compose évidemment de ces trois nombres ; on a / = o, L = 2. Il est le même pour tous les points ; on pourrait aussi bien s'arranger pour qu'il changeât avec a ; prendre par exemple la fonction fi^x) égale tantôt à x, à x'^, à x'^. Le lecteur n'aura aucune peine à multiplier les exemples de cette sorte.