Voyons maintenant quelles conclusions on peut tirer

(*) Ces notions peuvent s'étendre : si par exemple on supprime de (X) tous les points à gauche de a, les nombres La, l^ deviendront les bornes supérieure et inférieure à droite de la fonction en a. L^ — L sera l'écart à droite, en a. On définirait de même la borne supérieure ou inférieure et l'écart à gauche. Le lecteur trouvera dans la thèse de M. Baire d'autres extensions des mêmes idées, beaucoup plus profondes.

de la supposition suivante : l'ensemble (X) dans lequel la fonction f{x) est déterminée étant borné (en haut et en bas), l'ensemble (Y) des Valeurs de cette fonction dans (X) n'est pas borné, en haut, par exemple : en d'autres termes, quel que grand que soit un nombre donné P, il y a, dans (X), des valeurs de x pour lesquelles on a /(a-) > P.

Je vais montrer que, dans ces conditions, l'ensemble (X) admet au moins un point d'accumulation k, qui peut d'ailleurs appartenir à (X) ou ne pas lui appartenir, dans le voisinage duquel la fonction f(x) dépasse tel nombre qu'on voudra ; en d'autres termes, quelque grand que soit le nombre positif P, quelque petit que soit le nombre positif £, il y a des valeurs de x appartenant à (X) pour lesquelles on a à la fois \ x — A: | <. £, f{x) >> P. Bien entendu, il ne faut pas en conclure lim./(£c) = H-co ; car il peut y avoir,

dans le voisinage du point k, des valeurs de x pour lesquelles la fonction f{x) ne soit pas grande.

Soit en effet s un nombre positif quelconque, qu'on supposera comme plus haut, inférieur à un nombre fixe A : par hypothèse, il y a dans l'ensemble borné (X) des points pour lesquels la valeur

de f{x) est supérieure à -, et cela quelque soit z : désignons

par g (s) l'ensemble de ces points. On voit de suite que les ensembles 8 (s) satisfont aux conditions du n° 156 I il y a donc des points k formant un ensemble 8 (o) qui sont communs à tous ces ensembles, ou qui sont pour chacun des points d'accumulation. La première hypothèse est inadmissible : si le point k appartenait à tous les ensembles g (s), lesquels sont contenus dans (X), le point k appartiendrait à (X) et la fonction f[x) aurait une valeur déterminée f{k) en ce point, on ne pourrait donc avoir,

pour x^=k, f[x) >> -, en prenant s << jtt\ ; k est donc un point

d'accumulation pour tous les ensembles 8 (s), donc aussi pour (X), et l'on voit qu'il y a des jDoints x appartenant à (X), aussi voisins qu'on le veut de k, et pour lesquels f(x) est aussi grand qu'on le veut.

Il n'y a d'ailleurs que les points k de l'ensemble 8(o) à pouvoir jouir de cette propriété. Car si k! n'appartient pas à l'ensemble 8(o), on peut affirmer l'existence de deux nombres positifs s', a' tels que

CÎIAPITUE IV. DES FONCTIONS EM GÉNlÔllAL 'iSy

dans l'intervalle (// — a', W -\- a') ne se trouve aucun point des ensembles 8 (s) qui correspondent à des valeurs de s inférieures ou égales à s' ; pour les valeurs de x qui appartiennent à cet intervalle,

/(a?) ne peut dépasser ^•

Il est clair que la fonctlon/(a;) ne peut avoir de limite au point k; si le point k appartient à (X), ce qui arrivera nécessairement si (X) est clos, la fonction /(.r) ne peut être continue en ce point. Ainsi :

Une fonction f{x) déterminée dans un ensemble clos (X) et continue en chacun des points d'accumulation de cet ensemble y est nécessairement bornée.

161. — Il y a des conclusions analogues à tirer de la supposition suivante ; le nombre b est un point d'accumulation de l'ensemble (Y) des valeurs distinctes que prend la fonction f{x) dans l'ensemble borné (X).

Excluons d'abord le cas oii le point b fait partie de (Y) c'est-àdire où il y a dans (X) une valeur de x pour laquelle on 3if(x) = b.

Soit £ une variable positive, qui reste, si l'on veut, inférieure ou égale à un nombre fixe A. Quelque petit que soit ê, il y a dans (1) des nombres dont la différence avec b est moindre que s, ou, ce qui revient au même, il y a dans (X) des nombres x pour lesquels on a I f{x) — 61 ■< s. Soit 8 (s) l'ensemble de ces nombres x; on reconnaît de suite que l'ensemble 8 (s), défini pour chaque valeur positive de s, satisfait aux conditions du n" 156, en sorte qu'il existe un ensemble 8 (o) de points k dont chacun appartient à tous les ensembles 8 (s) ou est, pour chacun de ces ensembles un point d'accumulation. La première supposition est inadmissible, car le point k appartenant à tous les ensembles 8(c), on aurait I /(^O — ^ I < 2' quelque petit que fût s, ce qui exige /(A:) = b, contrairement à l'hypothèse. Le point k est donc un point d'accumulation de tous les ensembles 8 (s) et par suite de l'ensemble (X), qui les contient. On voit qu'il y a, dans (X), aussi près qu'on voudra du point k, et quelque petit que soit le nombre positif î, des points pour lesquels on a [ f{x) — 6 | < s. Il ne faut pas en conclure lim. /(x) = b, puisqu'il peut y avoir aussi, dans le voisinage

de k, des points pour lesquels /(j;) diffère notablement de x.

à 38 IINTRODUGTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

Si le point b était toujours un point d'accumulation de (Y), mais en même temps un point de (Y), il suffirait, pour s'assurer que les conclusions précédentes subsistent, d'appliquer les raisonnements précédents à l'ensemble (X') que l'on déduirait de (X) en en supprimant tous les points x pour lesquels on a f{x) = 6 et à l'ensemble (Y') que l'on déduit de (1) en en supprimant 6 : b reste un point d'accumulation de (Y'), et cet ensemble est formé des valeurs distinctes de la fonction f{x) dans l'ensemble borné (X'), etc.. Les raisonnements ne tomberaient en défaut que si (X') n'existait pas, c'est-à-dire si l'on avait yi^x) = b pour toutes les valeurs de x appartenant à (X) ; dans ce cas (\) se réduirait à b, qui ne serait donc pas un point d'accumulation.

Enfin, on voit comme précédemment que les points de l'ensemble g (o) sont seuls à jouir de la propriété qu'on a démontrée appartenir au point k.

Si l'ensemble (X) est clos, il contient tous les points k ; si, en outre, la fonction f{x) est continue pour chacun de ces points d'accumulation, il faut que l'on ait \im. f(x) =f{k), il faut donc

que/(/v) soit égal à 6 ; en d'autres termes l'ensemble (Y) contient le point b ; l'ensemble (Y) contient tous ses points d'accumulation ; on a déjà démontré qu'il est borné : il est clos. Ainsi :

Si une fonction f[x) est déterminée dans l'ensemble clos (X), et si elle est continue en chacun des points d'accumulation de cet ensemble, l'ensemble (Y) des valeurs distinctes qu'elle prend dans (X) est fmi ou clos. En particulier, cet ensemble (Y) contient sa borne supérieure et sa borne inférieure ; c'est dire qu'il y a dans (X) une valeur de x qui fait acquérir à f[x) une valeur égale à sa borne supérieure dans (X), une valeur de x qui fait acquérir Sif{x) une valeur égale à sa borne inférieure dans (X).

162. — Une fonction f{x) déterminée dans un ensemble clos(X), continue en chaque point d'accumulation de cet ensemble est dite continue dans l'ensemble (X).

Je vais montrer qu'elle est uniformément continue dans cet ensemble, c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif a, si petit qu'il soit, correspond un nombre positif a tel que l'on ait | f{x') — f[x) | < îc, sous la seule condition que x, x' appartiennent à (X) et que l'on

CIIAPITUB IV, ~- DBS PONCTIONS EN GÉNÉRAL aSg

ait \x' — ^ I <C /5- Remarquons que si l'on se donne a, et un point d'accumulation x' de l'ensemble (X), l'existence du nombre ^^ résulte de ce que l'on suppose la fonction continue en x' ; mais la valeur de |j semble devoir dépendre de x' : la proposition énoncée revient à dire que a étant donné, il existe un nombre fj qui ne dépend pas de x' : en outre, il n'est pas nécessaire de spécifier que .// est un point d'accumulation.

Si, la fonction /(j;) n'était pas uniformément continue au sens qu'on vient de dire, c'est qu'il existerait un nombre positif a jouissant de la propriété suivante : quelque petit que soit le nombre positifs, il y a dans (X) des points x, x' dont la distance est moindre que ô, et pour lesquels on a |/(*) — /(•^) | è a î on voit de suite en effet que nier l'existence du nombre a c'est affirmer qu'à chaque nombre positif a' correspond un nombre positif z tel qu'on ait \f{x) — /(■«') | < a' sous la condition \ x — a;' | << î.

Je vais donc supposer l'existence du nombre a, sans rien supposer de plus sur la fonction f{x), déterminée dans l'ensemble clos (X), les conclusions qu'on en tirera seront incompatibles avec la continuité de cette fonction.

Soit c une variable positive : par hypothèse il y a des points x de (X) auxquels on peut associer des points x' de (X) tels que l'on ait à la fois \x' — a; | ■< £, \f{oc') — f{x) \ ^ a. Soit g (c) l'ensemble de ces points ; on notera, en passant que l'ensemble g (s) contient en même temps les points x et x'. Les ensembles g (î) vérifient encore les conditions du n° 156; on en conclut l'existence de points k, formant un ensemble g (o), dont chacun appartient à tous les ensembles g (s) ou est un point d'accumulation pour tous ces ensembles.

Soit k un point de l'ensemble g (o) : par hypothèse, quelque soit £, il y a dans (X) et aussi près qu'on veut de k, des points X, x' dont la distance est moindre que s, et pour lesquels on a I f{x') — f(oc) I >• a ; l'un de ces points peut coïncider avec k ; mais, dans tous les cas, il est impossible que la fonction f{x) ait une limite au point k.

Puisque, si près qu'on veut du point k, il y a des points de (X), k est forcément un point d'accumulation de (X), qui appartient donc à (X), si cet ensemble est clos. Il est impossible que la fonction/(j;) soit continue en ce point.

J'ai dit plus haut qu'il est inutile de spécifier, dans la définition de la coutinuité, que le point œ' est un point d'accumulation : cela tient à ce que, lorsqu'il en est autrement, la condition \ X — x' I <C p ne peut être véril'iée que pour x = x' quand p est suffisamment petit.

En résumé, si la fonction f{x), déterminée dans l'ensemble clos (X), est continue en chaque point d'accumulation de (X), elle est bornée dans cet ensemble ; l'ensemble (Y) de ses valeurs distinctes est clos ; la fonction /{x) est uniformément continue dans (X) (')•

163. — La fonction y (ic), déterminée dans l'ensemble (X), est dite croissante dans cet ensemble si l'inégalité x >• x', oii x et x' sont deux éléments de (X) entraîne toujours rinég-alité/(£c) >-/(£c'),

ou, ce qui revient au même, si le rapport-^ '' r- — est toujours

positif, pourvu que x et x' soient deux nombres distincLS de (X) ; la fonction est dite décroissante dans (X), si le précédent rapport est toujours négatif. Si la fonction /(ic) est ou croissante, ou décroissante, dans (X), la correspondance entre l'ensemble (X) et l'ensemble (Y) des valeurs de fÇx^ est parfaite.

Si, quels que soient les nombres distincts £C, a:' appartenant à (X)

le rapport-^ — -^ ; — - n'est jamais négatif, je dirai que la fonction f[x) est non-décroissante ; si le précédent rapport n'est jamais positif, je dirai que la fonction /(a?) est non-croissante (^).

Si l'ensemble (X) est borné et contient ses bornes M, m ; il est clair que les quantités / (M), f{m) seront les bornes supérieure et inférieure de la fonction /(x), si elle est non-décroissante ; ses bornes inférieure et supérieure, si elle est non-croissante.

Si la fonction f[x) est non-décroissante ou non-croissante^ dans (X) et si, en désignant par x', x" deux nombres distincts appartenant à (X), on Sifix') =f(^x") la fonction/(aj) prendra la même valeur pour tout nombre x" appartenant à (X) et compris entre x et x".

(^) Cf. Jordan. — Cours d'Analyse, t. I, p. 5i.

(2) Ges expressions, au point de vue grammatical, sont quelque peu incorrectes. L'épithète « non-croissante >>, par elle-même, veut dire seulement que la fonction f[x) n'est pas croissante ; on lui a donné plus haut une signification plus précise.

CUAPIl'IH: IV. DliS lONCTIO.NS i:S (iliNKllAI, 2rU

164. — Les 11011(^118 et les proposillonsqiii précèdent s';ipp!i(|iient au cas où renscnihlc (X) dans lequel la (onction /(./;) est déleiniinécest un intervalle {a, h). Il convient toutefois de s'arrêter un peu sur ce cas, en raison de son importance.

C'est d'abord de la continuité que je m'occcuperai.

La fonction /(.r), déterminée dans l'intervalle (a, 6), est dite continue en un point x^^ de cet Intervalle si à chaque nombre i, si petit qu'il soit, correspond un nombre positif y^ tel que l'une des conditions suivantes soit vérifiée :

1° On a \f{x) — /(■rj I <C c pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle {a, 6) et qui satisfont à la condition I X SCq I <c^ /J .

2" On a I /{Xq -h ÔTi) — fi^o) I < î pour toutes les valeurs, de 0 qui appartiennent à l'intervalle (o, i) si a:o est égal à a{<C b), à l'intervalle ( — i, o) si x^^ est égal à 6, à l'intervalle ( — i, i) si cCg n'est ni a, ni b.

3° Dans tout intervalle (a', h') contenu dans l'intervalle {a, b), contenant x^^ et dont l'écart est moindre que y;, l'écart de la fonction est moindre que -.

La première définition, en se rappelant que tout point d'un intervalle est un point d'accumulation de cet intervalle revient à celle du n° 152; la seconde et la troisième s'y ramènent immédiatement.

Conformément à ce qui a été dit au n" 162, on dira qu'une fonction est continue dans l'intervalle (a, b) si elle est continue pour chaque point de cet intervalle. Elle est alors uniformément continue dans cet intervalle, c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif £ correspond un nombre positif y^ tel que l'on ait \f{x) — -f{x') \ <C i, pourvu que les points x, x' appartiennent à l'intervalle (a, 6) et soient à une distance moindre que yj (').

Si la fonction /(jc) est continue dans l'intervalle {a, 6), on peut partager l'intervalle [a, b) en un nombre fini d'intervalles partiels assez petits pour que dans chacun d'eux l'écart de la fonction soit

(') Si l'on ne veut parler que de fonctions définies dans un intervalle, on peut prendre ce qu'on vient de dire pour la définition dn la continuité dans un intervalle : il est clair que si vuic fonction est continue dans un intervalle (cri ce sens), elle est continue en chaque point de rintcrvalle. La dcmortstralion dé la réciproque est indispensable.

Tannery I. — Inlrodiielion à la théoiif Je? foticlions 16

moindre que tel nombre positif £ que l'on voudra. Réciproquement, s'il en est ainsi, la fonction /(x) est continue dans l'intervalle (a, 6).

Si la fonction /(dî) est continue dans l'intervalle (a, b) elle est continue dans tout ensemble clos (X) contenu dans (a, b).

Le lecteur se rendra compte immédiatement de l'importance pratique des fonctions continues en pensant que ce sont les seules dont on puisse calculer une valeur approchée quand on ne connaît la variable qu'approximativement.

165. — Les notions précédentes seront étendues plus tard aux fonctions de deux variables. Je veux toutefois, pour la commodité de ce qui suivra, définir de suite la continuité d'une telle fonction /{.x, y) dans le cas où celle-ci est déterminée pour tous les systèmes de deux nombres x, y vérifiant les conditions a ^x <a', b <y ^b' (nM54).

La fonction /(jî, y) est continue dans l'ensemble (XY) de ces systèmes, si à chaque nombre positif s on peut faire correspondre un nombre positif yj tel que l'on ait

l/(,r,j')-/Kj)|<c sous les conditions

dont les dernières expriment simplement que le système de nombres x, y appartient à l'ensemble (XY). En supposant toujours vérifiées ces dernières conditions, il reviendrait au même de dire qu'au nombre positif î on peut faire correspondre deux nombres positifs a, [i tels que l'on ait ! f{x', y') — f{x, j) 1 < £ sous les conditions | x — x' | < a, | y — y' \ < [', puisqu'on pourrait prendre le nombre yj égal au plus petit des nombres a, /3.

Si la fonction /(ir, y) est continue dans l'ensemble (XY) précédemment défini, et si l'on attribue à y une valeur fixe }'„, appartenant à rintervalle (6, b'), il est clair que /(a;, jj sera une fonction continue de la variable x dans l'intervalle (a, a!). De même si on attribuait à x une valeur fixe x^ appartenant à l'intervalle [a, a'), /(ic.j, y) serait une fonction de y continue dans l'intervalle {b, b') ; mais il ne faudrait pas conclure la continuité de la fonction de deux variables /(j:, y) de la continuité de chacune des fonctions

ClIM'lTlU!; IV. DES IfJNCTlONS EN OÈNÉUAr. 2/l3

d'une variable /(■/", Ju)-/('^o' j)» ^'■^^^ même que celle conlinuilé aurait lieu pour loulcs les valeurs de J7„, y^ qui vérifient les conditions a < .''^ ^ a', if ^ Jo ^ ^' '

On dira que la fonction /(.B,y) est définie pour le système [x^, y,,) et aux environs de ce système, s'il existe un nombre positif a, tel que la fonction y (j:, y) soit définie pour tous les systèmes x, y pour lesquels on a

h?^ — -^0 I < '^. I J — Jo 1 ^ ^•

Dans ces conditions, la fonction /(x) est dite continue pour le système Xp, jo si, quelque petit que soit le nombre 2D0silif£, on peut lui faire correspondre un nombre positif r, tel que l'on a<t

l/(.r,y)-/(^o.Jo)l<sous les conditions

1 •^ — ^0 I <'1, I J — Jo I < ^ '

le nombre •/] doit d'ailleurs être inférieur ou égal au nombre (/.. Il est clair que si la fonction f[x, y) est continue dans l'ensemble (XY) défini plus haut, elle sera continue pour chaque système X, y tel que l'on ait

au sens qu'on vient de dire. On établira plus tard la réciproque. Revenons aux fonctions d'une variable.

166. — Soit/{.r) une fonction continue dans l'intervalle {a. h) et supposons f[n) dilTérent dey"(6). Soit G un nombre compris entre /(a) etf{b) ; je dis qu'il appartient à l'ensemble (Y) des valeurs distinctes def[x) dans [a, b) ; en d'autres termes, il y a une valeur x^ de .r, qui appartient à l'intervalle (a, b), qui est forcément différente des bornes a, b, et pour laquelle on aLf[x^^) = G.

Je supposerai, pour fixer le langage, a <i b et f(a) ■< G ■< /(&). Pour les valeurs de x un peu plus grandes que a, f[x), qui est très voisin de f{a), reste plus petit que G. Il y a donc des nombres a appartenant à l'intervalle [a, b), tels que l'on ait f[x) <; G pour

l[x[\ I^'TIIODUCTION A Li THÉORIE DES FONCTIO-NS

toutes les valeurs de x qui appartiennent à l'intervalle [a, a) : soit (8) l'ensemble des nombres a, ensemble qui est évidemment borné : sa borne supérieure, que je désignerai par Xf^ est certainement moindre que b, car, pour x=b, on a /{x) >> G, et il en es t de même, en vertu de la continuité, pour les valeurs de x un peu plus petites que b. On a d'ailleurs certainement /(aj^) = G : car si l'on avait /(xq) ■< G, la fonction /"(ic), pour les valeurs de x un peu plus grandes que x^ serait encore inférieure à G, et si l'on avait f(x) >> G, elle serait plus grande que G pour les valeurs de x un peu plus j^etites que Xq : dans les deux cas x^ ne serait pas la borne supérieure de l'ensemble (8).

La proposition que l'on vient de démontrer s'énonce souvent, d'une façon imagée, en disant qu'une fonction continue /(j:) ne peut passer d'une valeur /(o) à une autre valeur f[b) sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Elle montre en particulier que si /(a) et/(6) sont de signes contraires, l'équation /(a;) = o a une racine comprise entre a al b.

Soient M, m les bornes supérieure et inférieure de la fonction/(j3) dans l'intervalle {a, 6); il y a deux nombres «j, bi, qui appartiennent à cet intervalle et pour lesquels on a /(a,) = M, f{bi) = m. La proposition précédente s'applique à l'intervalle {a^,b^) contenu dans l'intervalle (a, b) : il suit de là que l'ensemble {\) des valeurs que prend la fonction /(x') dans l'intervalle (a, b) n'est autre chose que l'intervalle [m, M), puisque, d'une part il n'y a pas de points de (Y) en dehors de cet intervalle, et que, de l'autre, si a désigne un nombre qui appartienne à l'intervalle {m. M), il y a un nombre 5c appartenant à l'intervalle («j, 6,), donc à l'intervalle (a, 6), pour lequel on a/(x) = p..

L'ensemble (Y) est bien clos, comme on le savait d'ailleurs par le n" 162.

Si importante que soit la propriété précédente des fonctions continues, elle ne caractérise cependant pas ces fonctions (').

(') Voyez le Mémoire de M. D.vrhoux sur les fonctions discontinues, Annales scientifiques de l'Ecole normale supérieure, 2"* sér., t. IV, p. logi. Il suffira de signaler l'cxemiDle suivant, que donne M. Dauboux : une fonction f{x) égale

à o pour a; = o, et à sin - pour les autres valeurs de x, est discontinue pour X = o ; cependant il est aisé de voir qu'elle ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par les valeurs intermédiaires.

CIIAPITHE IV. DKS FONCTIONS EN GIOEFIAL '2'\.)

La dérinilion des mois « londion croissante, non décroissante...»» qui a été donnée au n" 163 subsiste ainsi que ses conséquences dans le cas où la fonction est définie dans un intervalle [a, h) : En supposant que la fonction /{.r) soit non-décroissante ou non-croissante, dans cet intervalle, ses bornes sont f{a) ct/(6) ; si l'on a f{x') =:f{x"), en désignant par x', x" deux nombres de l'intervalle (a, b), la fonction /(./;) est constante dans tout l'intervalle

167. — En restant toujours dans le cas où la fonction /(x) est déterminée dans l'intervalle (a, h), on dira qu'elle est croissanle au point Xq de cet intervalle si l'on peut déterminer un nombre positif s, tel que le rapport

soit positif pour toutes les valeurs de x, autres que x^^, qui appartiennent à l'intervalle [a, h) et qui satisfont à l'inégalité \x — x^\<^.

Une fonction croissante dans l'intervalle (a, h) est croissante en chaque point de cet intervalle ; il est aisé d'établir la réciproque.

Supposons en effet que la fonction /(j?) soit croissante en tout point de l'intervalle (a, b), au sens qu'on vient de dire ; il suffit, pour prouver qu'elle est croissante dans l'intervalle (a, b) au sens qui a été précisé au n° 163, de montrer que si l'on désigne par x une valeur quelconque appartenant à l'intervalle (a, 6), autre que la borne supérieure 6, on a f{x) >> f{x') pour toutes les valeurs de X qui appartiennent à l'intervalle [x , b). Or cette inégalité, puisque la fonction f(x) est croissante au point x' , a certainement lieu pour les valeurs de x qui sont suffisamment voisines de x' . Soit (B) l'ensemble des valeurs de x, appartenant à l'intervalle [x , b) pour lesquelles on Sif[x) >/(■»') et x^ la borne supérieure de (B), je dis, d'une part que l'on af{x^) "^ f{x'), d'autre part que x^ est égal à 6. Si en effet on avait/(£Cg) ^f{x'), la fonction f{x), pour des valeurs de x un peu plus petites que x^ prendrait des valeurs plus petites que /(j?o)' puisqu'elle est croissante au point X(„ ces valeurs seraient plus petites que f{x') ; les valeurs de x un peu plus petites que Xq n'appartiendraient pas à l'ensemble (B), non

plus que X,, qui ne pourrait être la borne supérieure de cet enensemble. On a donc /(.Cq) >/(^^')- D'autre part, si x^ n'était pas égal à b, pour les valeurs de x un peu plus grandes que x^, la fonction f{x), croissante en x^, serait plus grande que fix^, les valeurs de x un peu plus grandes que x^ appartiendraient à l'ensemble (8), dont £Cg ne serait pas la borne supérieure.

On définira de même ce qu'est une fonction décroissante en un point d'un intervalle, et l'on montrera qu'une fonction décroissante en tout point d'un intervalle est décroissante dans tout l'intervalle.

168. — Quand une fonction /(a:) est à la lois continue et croissante (ou décroissante) dans un intervalle (^a, h), les choses se passent d'une façon particulièrement simple. Rappelons d'abord que si l'on suppose a <; 6 et la fonction/(x) croissante, A =:y(a) sera la borne inférieure de cette fonction, B =r f{h) sa borne supérieure, B — A son écart dans l'intervalle (a, b). Si maintenant on a A ■< G << B, la fonction /(a?) prend, comme on l'a vu au n° 165, et comme on pourrait le démontrer dans le cas qui nous occupe d'une manière un peu plus simple, la valeur C pour une valeur x^ comprise entre a et 6 ; elle n'atteint d'ailleurs la valeur G que pour la seule valeur £c„, car pour les valeurs deic inférieures ixxçi,f[x) est plus petit que G ; au contraire /(a;) est plus grand que G pour les valeurs de x plus grandes que ^o- Dans ce cas la correspondance entre les éléments de l'ensemble (Y) des valeurs de la fonctiony(x). et de l'ensemble (X) des valeurs de (x*) [ou de l'intervalle (a, 6)], est parfaite.

Il ne sera pas inutile de remarquer en général que, toutes les fois qu'une fonction y =-f{x) est déterminée dans un ensemble (X) et que les valeurs de y qui correspondent à deux valeurs distinctes de X prises dans cet ensemble sont toujours distinctes, en sorte que la correspondance entre les valeurs de x [les éléments de (X)], et les valeurs de y [les éléments de (\)] soit parfaite, la valeur de £c à laquelle correspond une valeur de y de l'ensemble (Y) est déterminée sans ambiguïté, en sorte que x peut être regardé comme une fonction de y déterminée dans (Y) ; cette fonction F (j) est dite la fonction inverse de la fonction y(£c), et l'on a pour toutes les valeurs de X qui appartiennent à (X), et pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à (Y),

CIIAPITIIK IV. DRS FONCTIONS EN GKNKUAr. 2/17

169. — Dans le cas qui nous occupe, où la fonrlion y z^fix) est conlinuc cl croissante clans l'intervalle {a, h), la fonction inverse F (j) est définie clans rinlervallc (A, li) ; il est aise de voir qu'elle y est croissante et continue : elle y est croissante, car si l'on a A "< j' •< j" <C B, et si l'on suppose a/ = F {y'), x" = F {y") ou, ce cpii revient au même, y' =f[x'), y" =f(x"), il est clair cpic l'on ne peut avoir ni l'égalité .«' = ./;", cjui implif[uerait /'(.x')=/'(.'k")' ni l'inégalité x' >■;//, qui implic[uerait/(.B')>./(j;"). Enfin la fonction F (y) est continue pour toute valeur y' comprise entre A et B. Car, si Ton suppose encore x' = F (y'), y' =f{x') et si l'on veut déterminer un intervalle (y' — /j, j' -+- yj) tel que pour les valeurs de j appartenant à cet intervalle, la difl'érence F (j) — F (j) soit moindre en valeur absolue c|ue le nombre positif -, dont on suppose seulement qu'il satisfait aux conditions a <£c' — c <<*■'+ c^l->> il suffira de poser

et de prendre Tj plus petit c[ue les deux nombres positifs /(, k. En effet, pour les valeurs de x comprises entre x' et x' -f- z y est compris entre y' et y' -+- k; inA^ersement, c[uand y est compris entre y' et y' + A-, F (y) est compris entre x' et x' -+- i ; on a donc o << F (y) — F (y') <C c. De même cjuand y est compris entre y' — h et y', on a o <C F (y') — F (y) <; c. Dans tous les cas, si y est compris entre y' — y] et y' -+- rj on aura certainement I F (j) — F (y') I << c. Les modifications qu'il faudrait apporter à cette démonstration si y était égal à A ou à B sont insignifiantes.

Si la fonction y =y(a;) est continue dans l'intervalle («, b), et si m, M sont ses bornes inférieure et supérieure, la correspondance entre l'intervalle (a, b) des valeurs de x et l'intervalle (m, M) des valeurs de y ne peut être parfaite cpie si la fonction f[x) est croissante, ou décroissante, dans tout l'intervalle.

Supposons en effet c[ue la correspondance soit parfaite et soient a <; /5 •< y trois nombres appartenant à l'intervalle (a, b) : d'une part les nombres/(a),/(j'3),/(y) sont distincts, en vertu de l'hypothèse ; d'autre part/(]S) est certainement compris entre/(a) et /(y). Car, s'il en était autrement, c'est que /(a) serait compris entre /(jS) et /(y) ou que /(y) serait compris entre /(a) et /(.'S) ; dans le premier cas, /(a) — /(j3). et /(a) — /(y) seraient de

y 48 OTUODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTION'S

signes contraires ; l'équation f[c/) — f{^^ = o aurait donc une racine â' comprise entre j'3 et y ; or la supposition f{a) =^f{â), est contraire à l'hypothèse faite sur la fonction [fx) qui, pour des valeurs distinctes delà variable doit prendre des valeurs distinctes; le raisonnement et la conclusion sont les mêmes dans le second cas.

Par conséquent, quand la fonction y = f{x), continue dans l'intervalle (a, b) n'est pas croissante, ou décroissante, dans tout l'intervalle, la correspondance entre les valeurs de x et celles de y ne suffit pas pour définir œ comme une fonction inverse de j : cette définition exige qu'on spécifie, lorsqu'il y a plusieurs valeurs de X qui font acquérir à la fonction y(.r) la valeur y, celle que l'on choisit.

Enfin, il convient d'avertir le lecteur que l'opinion qui résulte naturellement de l'étude des fonctions élémentaires et d'après laquelle, lorsqu'une fonction est continue dans un intervalle (a, b), on pourrait partager cet intervalle en intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction fut ou croissante, ou décroissante, ou constante, n'est pas vraie. On donnera plus tard un exemple do fonction continue qui n'est ni croissante, ni décroissante en aucun point.

170. — Les propositions qui suivent sont à peu près évidentes ; elles peuvent être regardées comme des extensions de celles du n'' 54, qui subsistent avec l'extension qui a été donnée au sens du mot limite (n" 151).

Si les deux fonctions y (a?), g (x) sont continues en un jioint, dans un ensemble clos, ou dans un intervalle, il en est de même des fonctions /(j:;) -h (j{x),f{x) — g(x),f[x) x g {x) ', il en est de

même encore de la fonction -'-p^ pourvu que la fonction g [x), pour

les valeurs considérées de x, reste supérieure en valeur absolue à un nombre positif fixe. C'est ce qui arrivera sûrement s'il s'agit d'une fonction, continue dans un ensemble clos (X) qui ne s'annule pour aucune valeur de x appartenant à cet ensemble : car si la fonction g (x) est continue dans (X), il en est de même de la fonction | g{x) \, qui doit atteindre par conséquent sa borne inférieure, et celle-ci ne peut être nulle, puisque la Jonclion g (x) ne s'annule pour aucune valeur de x appartenant à (X).

ClIAl'ITItE JV. urS rONC'l'IOAS EN C.ÉyÉlWJ. '2,f\\)

En appliquant plnsicurs fols les propositions iclativcs à une somme et à nn produit, on voit que, si o {a, v, iv) désigne un polynôme en a, v, iv et si /(, v, w sont des fonctions continues de x dans un ensemble clos (\), ^j^ {ii, v, w) sera une fonction continue de x dans le même ensemble. Il en serait de même du quotient de deux polynômes en ii, v, tu, pourvu que le dénominateur ne s'annulAt pour aucune valeur de x appartenant à (X). En particulier, un polynôme en ./; est une fonction continue dans tout intervalle ; une fraction rationnelle en x est une fonction continue de x dans tout intervalle qui ne contient aucune valeur de ./; pour laquelle s'annule le dénominateur.

Soit o {il) une fonction continue de la variable ii dans l'inlervalle (a, a') et à{v) une fonction continue de la variable i' dans l'intervalle [b, //), il est clair que les expressions

seront des fonctions des deux variables ii, v déterminées dans l'ensemble (UV) des couples de valeurs ii, v qui vérifient les conditions

a<ii<.a', b<v<b'

(n° 164) ; il est bien aisé de voir qu'elle sont continues dans cet ensemble. Considérons en effet la seconde, par exemple.

Si l'on pose © («') = o(ii) -+- h, 6 (c') = à [k] +./.-, on aura © {il') à {v') — 9 (il) (i;(y) = /( 'b{v) + ko {a) -i- hk.

Si l'on désigne par P un nombre positif plus grand que les bornes supérieures des fonctions I à {li) \, | ^ii{v) | dans les intervalles (a, a'), (b, b'), par a un nombre supérieur à I /* |, | k \, si l'on suppose enfin que ces dernières quantités soient moindres que i, le second membre de l'inégalité précédente sera moindre, en valeur absolue que (aP + i)a ; il suffira donc de supposer

^ < 2""FT7 ' ! «' — " I < <='' I '^' — ^' I < * pour être sûr que l'on a

En appliquant plusieurs fois ce tbéorèmfi, on voif de suite qu'un

polynôme en © [ii), d/ (v) est une fonction continue dans l'ensemble (UV). En particulier, un polynôme en ii, v sera une fonction continue clans l'ensemble (UV) et cela quels que soient les nombres a, a', h, h' ; l'extension de ces propriétés à des fonctions de trois, quatre, ... variables est immédiate.

Si les fonctions y (a;), (j [x) sont croissantes dans l'intervalle [a, h), il en est de même de la fonction f{x) + g{x); il en est de même encore de la fonction fyx) X g {x), si les fonctions /(.r) et g [x) restent positives dans cet intervalle ; le produit/(a;) x g (x) serait décroissant si les deux facteurs étaient croissants et négatifs, on ne peut rien aflirmer si l'un des facteurs est positif et l'autre négatif. Si la fonction f(^x) est croissante et la fonction g [x) décroissante, la ditïerence f{x) — g (x) est croissante ; il en est de

même de la fonction-'— ^, quand les deux fonctions /(j;), g [x)

restent positives ; elle est, au contraire, décroissante, quand les deux fonctions y (x), ^ (jî) restent négatives. Le lecteur complétera sans peine les énoncés de ce genre.

171. — Soity(a;)une fonction de x définie dans l'intervalle (a, b) et dont les valeurs restent comprises entre A et B ; si 'p (y) est une fonction de y, définie dans l'intervalle (A, B), il est clair qu'à chaque valeur de x appartenant à l'intervalle [a, b) correspondra une valeur de o{j) obtenue en regardant y comme ayant la valeur y (a?) ; à ce point de vue 'i; (j) ou Q[f{x)]est ce qu'on appelle une fonction de fonction de x. Si la fonction /(a;) est continue dans l'intervalle (a, 6) et si la fonction (de y) 'd [y) est continue dans l'intervalle (A, B), il est clair que la fonction ç^[/(j;)] scia une fonction continue dans l'intervalle (a, 6) ; si la fonction f[x) est croissante dans l'intervalle [a, b) et si la fonction (de y) © (y) est croissante dans l'intervalle (A, B), il est clair que la fonction c^[f[x)] est croissante dans l'intervalle [a, h). Plus généralement si l'on sait partager l'intervalle [a, b) en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, la fonction /(.r) soit croissante ou décroissante, et l'ensemble (A, B) en intervalles partiels tels que la fonction cp (y) soit croissante ou décroissante, on parviendra à partager l'intervalle (a, b) en intervalles partiels tels que dans chacun d'eux on connaisse le sens de la variation, c'est-à-dire le caractère do

CniPITUE IV. DES l'ONCTIONS EN GENEUAL 20 1

croissance OU de dccroissancc de la fonclioii de fuiidion o] /'(.-r;]. Ce sont les remarques précédentes qui, comme on le sait, permettent de reconnaître le sens de la variation des foi\ctions

ha' — J/a

, 1 ax + 6 n ^2

ax -\- b, - , ', , , = — , + ,