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cil a, h, c, a , h' désignent des constantes, m un nombre entier ; on pourra aussi, soit avec ces fonctions mêmes, soit avec d'autres, pour lesquelles on connaît le sens de la variation, former des fonctions de fonction et multiplier les exemples. Mais on sent combien l'application de ces remarques est limitée ; elles ne s'appliquent

déjà plus à la fonction très simple x -h - , dont il est d'ailleurs aisé

de reconnaître le caractère eu recourant à la définition des fonctions croissantes ou décroissantes. Des propositions générales qui seront développées plus tard, fourniront des méthodes simples pour reconnaître le sens de la variation d'un très grand nombre de fonctions.

172. — Soit (X) un ensemble de nombres ; soient a et 6 deux éléments de cet ensemble, a étant le plus petit : cette façon déparier « X croît de a à b en restant dans l'ensemble (X) » ne présente aucune difficulté quand il n'y a entre a et 6 qu'un nombre fini de valeurs distinctes Xi, a;^, ..., Xn de l'ensemble (X) qui sont comprises entre a et 6 ; on imaginera la suite des nombres croissants a, Xi, x.^, ..., x,^, h et on imaginera que la variable x prenne successivement ces valeurs : Lorsqu'il y a une infinité de nombres appartenant à (X) entre a el h, lorsque l'ensemble (X) contient tout l'ensemble [a, b), l'esprit se refuse à concevoir une lettre x prenant successivement toutes les valeurs intermédiaires à a, b.

Même dans ce dernier cas, où l'on dit habituellement que x croît d'une façon continue de a k b. il n'y a aucun inconvénient à conserver cette façon de parler, qui est commode, et qui, au fond, n'implique rien de plus qu'un ordre attribué aux nombres a, b et

aux nombres intermédiaires, ]e nombre x' étant regardé comme précédant le nombre se" si l'on a x' < x" . Les façons de parler (( X croît de a à H- go , décroît de + oo à a, croît de — oo à -H «d » peuvent être l'objet d'observations analogues.

Si maintenant j = f [^ 6st une fonction continue de x, l'expression « c[uand x croît d'une façon continue de a à 6, j croît d'une façon continue de A à B » s'explique d'elle-même : elle veut dire que l'on a

et que dans l'intervalle (a, 6) la fonction continue /(a?) est croissante. Les expressions analogues s'expliqueront de même : par exemple l'expression « quand x croît d'une façon continue de a à 6, y décroît d'une façon continue de A à — co », veut dire que l'on a a <; 6, A =if[à), que la fonction /(a;) est continue et décroissante dans tout intervalle [a, h') où l'on suppose a <ih' <ih, e\. que l'on a lim/(a7) = — oo . Souvent même, quand il n'y a pas

d'ambiguïté à craindre, on supprime les mots « d'une façon continue ».

Toutes ces façons de parler sont les résidus d'images où le mouvement joue un rôle sur lequel il me parait inutile d'insister : l'emploi de ces images n'offre pas d'inconvénient quand la signification des notions abstraites auxquelles elles correspondent a été bien précisée.

On peut en dire autant des figures géométriques, qui servent à représenter la variation des fonctions. Dans ce qui précède, un nombre a été essentiellement identifié avec un point sur un axe : cette identification, ainsi qu'on la expliqué, peut être regardée comme une simple façon de parler : en disant un point, on entend un nombre, et l'esprit est en même temps soulagé par la vue ou le souvenir d'une image. On n'a d'ailleurs jamais parlé du /)/an, de points en dehors de l'axe qui servait à représenter les nombres. Je m'eflbrcerai de montrer ultérieurement comment, en conservant le langage de la géométrie plane, en s'aidant même de ses figures, on peut cependant rester dans le domaine du pur nombre. Il n'y a pas d'inconvénient, pour le moment, à attribuer une réalité concrète à la représentation dont on va dire deux mots, et à admettre comme

CIIAl'lTUE IV. DES FONCTIONS EN GENEIIAL

Fie

des données quelques notions et propositions simples de la géométrie élémentaire.

Concevons dans un plan deux axes rectangulaires OX, OV, se coupant au point 0 (origine des abcsisses et des ordonnées). Sur le premier axe (axe des x, ou des abcsisses), on rcg'arde comme positive la direction qui part du point 0 et va vers la dioilc ; stu- le second axe (axe des y ou des ordonnées), la direction qui part du point (3 et va vers le haut. Sur les deux axes on évalue les longueurs au moyen d'une même \inlté de longueur.

Les nombres ./; seront représentés, suivant la convention ordinaire par des points sur l'axe OX, points dont les nombres sont les abcisses. Pour l'axe 0\, on emploie le mot ordonnée avec le même sens que le mot abscisse pour l'axe OX ; les nombres y sont représentés par des points sur cet axe OY, points dont ces nombres sont les ordonnées.

A un point quelconque M du plan correspondent deux points P, Q, ses projections orthogonales sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées, et par conséquent deux nombres x, y, l'abscisse du point P, et l'ordonnée du point Q, qui sont dits aussi l'abscisse et l'ordonnée, ou les coordonnées du point M ; réciproquement à chaque système de deux nombres (js, y) correspond un point M dont l'abscisse et l'ordonnée sont précisément x, y.

Ceci posé, si l'on considère une fonction y =f[x), elle fait correspondre à un point x de l'axe des abscisses un point y de l'axe des ordonnées, et cette correspondance sera très bien figurée par le point M dont les coordonnées sont j:, y ; On dit que l'ensemble (ou le lieu) des points M représente la fonction /(jî), ou l'équation y =y(.r). A la vérité, cette représentation est, à peu près inapplicable quand il s'agit de correspondances aussi générales que celles que l'on a considérées au début de ce chapitre ; si même il s'agit d'une fonction continue dans un intervalle [a, h), cette représentation ne pourra être employée pour une fonction qui, par exemple, ne

2oii IIS'ÏUODUCTION A LA TIlÉOUIE DES FO>'GTIOKS

serait jamais croissante, ni décroissante. Elle commence à devenir moins confuse quand l'intervalle (a, b) peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles dans chacun desquels la fonction est croissante ou décroissante : si, par exemple, la fonction y := f[x) est croissante dans l'intervalle [a, h), on est disposé à ne pas refuser le nom de courbe au lieu des points M qui figurent la correspondance entre x et y quand x croit de a h b ; en réalité les images que nous nous représentons sous le nom de courbes impliquent, d'une façon plus ou moins obscure, des propriétés qui peuvent très bien n'être pas réalisées ici, par exemple l'existence d'une tangente, au moins en général, et d'une certaine continuité dans la variation de cette tangente ; bien qu'il convienne de réserver le nom de courbe aux lieux géométriques qui jouissent de ces propriétés, que l'on précisera plus tard, employons-le provisoirement, et figurons un trait de courbe montant du point a dont les coordonnées sont a, A au point jj dont les coordonnées sont b, B ; il figurera une fonction f{x), continue dans l'intervalle (a. b) et croissant de la valeur A à la valeur B quand x croit de a en 6 ; on voit très bien sur la figure comment à un point c de l'intervalle (a, b) correspond un point G de l'intervalle (A, B) et réciproquement ; en d'autres termes ; comment la correspondance entre les intervalles [a, b) et (A, B) est parfaite ; comment, lorsque le point c se meut sur l'axe des abscisses de a vers b, en allant toujours de gauche à droite, le point correspondant C de l'axe des ordonnées monte de A et B et réciproquement ; comment, en quelque sorte, le trait de courbe entre a, fj définit à la fois y comme fonction de x [y=f{x)] dans l'intervalle (a, b) et x connue fonction inverse de y [j; = F(y)] dans l'inbervalle (A, B); comment cette dernière fonction est croissante. La continuité de la fonction F(j) s'aperçoit par un raisonnement identique au fond à celui du n° 169, mais qui, sur la figure, devient intuitif : si l'on marque deux points c', c" sur l'axe des x, h droite et à gauche de c et à une même distance i de ce point, puis que l'on figure les points correspondants C, G" de l'axe de y, il est clair que si l'on prend le point M entre G', G" le point correspondant m de l'axe des x sera entre c' et c" et par suite à une distance de c moindre que z ; or le point M sera sûrement entre les deux points G' et G" si on lui impose la condition d'être à une distance du point G moindre que la distance yj de ce point à celui des