VI PREFACE

rées; il sait nettement comment on peut aller de cette vérité à cette autre ; il sait où il doit porter son attention ; ses yeux mieux exercés arrivent à voir clair dans ces passages difficiles dont il n'aurait jamais pu se rendre maître s'il ne les avait franchis; il est maintenant capable d'aller plus loin ou de suivre une autre direction; il entre en possession de vérités nouvelles qui s'ajoutent aux vérités anciennes et qui les éclairent ; il s'étonne parfois des perspectives inattendues qui s'ouvrent devant lui et lui laissent voir, sous un aspect nouveau, des régions qu'il croyait connaître entièrement; peu à peu les ombres disparaissent et la beauté de la science, si une dans sa riche diversité, lui apparaît avec tout son éclat.

Ce qui se passe dans l'esprit de celui qui étudie les mathématiques n'est que l'image de ce qui s'est passé dans la création et l'organisation de la science; dans ce long travail, la rigueur déductive n'a pas été seule à jouer un rôle. On peut raisonner fort bien et fort longtemps sans avancer d'un pas, et la rigueur n'empêche pas un raisonnement d'être inutile. Même en mathématiques, c'est souvent par des chemins peu sûrs que l'on va à la découverte. Avant de faire la grande route qui y mène, il faut connaître la contrée où l'on veut aller; c'est cette connaissance même qui permet de trouver les voies les plus directes; c'est l'expérience seule qui indique les points où il faut porter l'effort; ce sont les difficultés, parfois imprévues, qui se dressent devant les géomètres qui les forcent à revenir au point de départ, à chercher une route nouvelle qui permette de tourner l'obstacle. S'imagine-t-on, par exemple, les inventeurs du calcul différentiel et intégral s'acharnant, avant d'aller plus loin, sur les notions de dérivée et d'intégrale définie? Ne valait- il pas mieux montrer la fécondité de ces notions, dont l'importance justifie le soin qu'on a mis à les éclaircir?

PREFACE. Yir

Cette révision luème, qu'on a faite de notre temps, l'auraiton entreprise sans les questions que l'étude des fonctions et particulièrement des séries trigonométriques a posées d'une manière inévitable?

Pour en revenir à l'enseignement, il me semble que, dans notre système d'instruction, la révision des principes de l'analyse s'impose nécessairement comme transition entre les matières que l'on traite dans les cours de Mathématiques spéciales et celles que l'on étudie soit dans les Facultés, soit dans les Écoles d'enseignement supérieur. A la fin de la classe de Mathématiques spéciales, les élèves sont maîtres d'un nombre de faits mathématiques déjà considérable; ils possèdent les éléments de l'Algèbre, de la Géométrie analytique, et même du Calcul différentiel et intégral. Un classement rigoureux de ces matériaux est indispensable. C'est pour faciliter ce travail, en ce qui concerne l'Analyse, que je me suis décidé à publier le présent livre, où j'ai développé quelques leçons faites à l'École normale en 1883. Je l'ai fait aussi élémentaire que j'ai pu, en m'efforçant de rapprocher les choses des principes, mais en essayant toutefois d'être particulièrement utile à ceux qui désirent pousser leurs études mathématiques beaucoup plus loin que je ne prétends les conduire.

Je n'ai eu qu'à me livrer à un travail d'arrangement et de rédaction : les faits mathématiques qui constituent et constitueront toujours les éléments de l'Analyse étaient acquis pour la plupart au commencement de ce siècle; à la vérité, bien des démonstrations laissaient à désirer ; mais, après les exemples de rigueur donnés par Gauss, après les travaux de Cauchy ('), d'Abel (-), de J^ejeune-

(') Cours (l'anahjsc de l'KcoIe royale j-iohitevlimqun. Paris, i8"21. (î) llcrhi'rclu's sur la série 1 -f- x .'' + L I. p. '21'J. - Sur les séries, t. Il, p. 197).

(î) llerherches sur la série 1 -f- j ./•+ ~-^fif^ -c- + ••■ (Œ">

YIII PREFACE.

Dirichlet (•), de Riemann {^), de M. 0. Bonnet (=^), de M. Heine (^), après l'enseignement de M. Weierstrass, divulgué et développé par ses disciples, après le mémoire de M. Darboux sur les fonctions discontinues (•^), les livres de M. Dini {^) et de M. Lipschitz ('), il ne semble pas qu'il reste quelque chose d'essentiel à élucider dans les sujets auxquels je me suis borné.

On peut constituer entièrement l'Analyse avec la notion de nombre entier et les notions relatives à l'addition des nombres entiers ; il est inutile de faire appel à aucun autre postulat, à aucune autre donnée de l'expérience ; la notion de Finfmi, dont il ne faut pas faire mystère en mathématiques, se réduit à ceci : après chaque nombre entier, il y en a un autre. C'est à ce point de vue que j'ai essayé de me placer. A la vérité, pour être complet, il eût fallu reprendre la théorie des fractions ; une fraction, du point de vue que j'indique, ne peut pas être regardée comme la réunion de parties égales de l'unité; ces mots (.(parties de l'unité)) n'ont plus de sens ; une fraction est un ensemble de deux nombres entiers, rangés dans un ordre déterminé; sur cette nouvelle espèce de nombres, il y a lieu de reprendre les déiinitions de l'égalité, de l'inégalité et des opérations arithmétiques. J'aurais dû aussi reprendre la théorie des nombres positifs et négatifs, théorie que l'on ne dégage pas toujours de la

Q) Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données (Journal de Crelle, t. IV, p. 157).

(2) Sur la possibilité de représenter une fonction par une série trigonométrique (Bulletin des sciences uialhéinatiques et astronomiques, 1'" série, t. V, p. 20).

(^) Mémoire sur la théorie générale des séries (Mémoires couronnés ... publiés par l'Académie ... de Belgique, t. XXIII).

(<) Die Elemente der Functionenlehre (Journal de Crelle, t. LXXIV, p. 172).

(S) Annales scientifiques de l'École nortnale supérieure, 2« série, t. IV, p. 57.

(8) Fundumenti per la teorica délie funzioni di Variabili reali. Pise, 1878.

(") Lclirhuch der Anahjsis. Bonn, 1877.