PREFACE. IX

considération des grandeurs concrètes, et dans laquelle il faut encore reprendre à nouveau les définitions élémentaires. Mais tout cela est facile et les développements que j'aurais dû donner sur ces sujets auraient allongé mon livre et augmenté, sans grande utilité, la fatigue du lecteur. J'ai donc supposé acquise la théorie des opérations rationnelles sur les nombres entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs, et j'ai débuté par l'introduction des nombres irrationnels. J'ai développé une indication donnée par M. Joseph Bertrand dans son excellent Traité d'arithmétique et qui consiste à définir un nomln-e irrationnel en disant quels sont tous les nomljres rationnels qui sont plus petits et tous ceux qui sont plus grands que lui; c'est de cette façon que les nombres irrationnels s'introduisent le plus naturellement quand on traite de la mesure des grandeurs incommensurables avec l'unité; j'ai d'ailleurs cherché à dégager la notion de nombre irrationnel de son origine géométrique. J'ai appris par une citation de M. G. Cantor (Grundlagen ciner allgemeiner Mannichfaltigkeitslehre , p. 21), que M. Dedekind avait développé la même idée dans un écrit intitulé Stetigkeit und irrationale Zahlen (Brunswick, 1872); je n'ai pas eu à ma disposition le travail de M. Dedekind, mais les développements d'une même idée se ressemblent forcément, et il y a lieu de supposer que ce qui est bon dans mon exposition se retrouve dans celle du géomètre allemand, (]ui a d'ailleurs bien d'autres titres de gloire. D'autres points de départ ont été indiqués : M. Weierstrass, qui ne craint pas de s'attarder sur ces matières dans un cours qui aboutit à l'étude des fonctions abéliennes, considère, si mes renseignements sont exacts, un nombre irrationnel comme la somme d'un noml)re infini d'éléments rationnels, en précisant toutefois avec rigueur sous quelles conditions on peut parler de pareilles sommes et les employer; M. lîeine, dans le mémoire déjà cité Die Elemenie der Functionen-

It'hre, u proposé de dire (|u'aiie suite inliiiic de nombres rationnels

a une limite lorsque, à chaque nombre rationnel positif -. correspond un indice n tel que la différence u„ + ,, — u„ soit, pour toutes les valeurs du nombre entier positif p, inférieure à £ en valeur absolue. Cette définition admise, l'introduction des nomljres irrationnels, comme limites de pareilles suites, ne souffre aucune difficulté; c'est la marche qu'ont suivie MM. Lipschitz, duBoJs-Ileymond, G. Cantor. Je trouve cette définition plus arbitraire que celle que j'ai adoptée, qui permet, dès qu'un nombre irrationnel est défini, de lui donner sa place dans l'échelle des nombres; cependant, comme on ne peut se dispenser de faire l'étude des suites qui jouissent de la propriété précédente, j'ai fait cette étude indépendamment de la théorie des opérations effectuées sur les nombres irrationnels, en montrant comment elle permettrait de constituer cette théorie. Le lecteur ne manquera ])as de remarquer que mon exposition pourrait être abrégée en ne reprenant pas deux fois, comme j'ai fait, les choses au commencement.

Les notions de nombre irrationnel et de limite une fois acquises, les éléments de la théoi'ie des séries et des produits infinis ne présentent aucune difficulté; les deux façons d'introduire ces notions y jouent un rôle essentiel; la seconde n'est d'ailleurs autre cliose que le point de départ adopté par Gauchy, pour la théorie des séries, dans son Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique, livre qu'on peut encore admirer, depuis le temps où Abel disait qu'il devait être lu par tout analyste qui aime la rigueur dans les recherches mathématiques. La notion de produit infini se relie étroitement à celle de série; les deux notions, à elles deux, ne tiennent pas plus de place dans l'esprit