PREFACE. XI

qu'une seule; j'ai cru devoir les développer concurremment.

Avant de parler des séries et des produits infinis dont les termes dépendent d'une variable, j'ai donné quelques théorèmes généraux relatifs aux fonctions d'une variable; je me suis efforcé de préciser les définitions, d'éclaircir les notions de continuité, de limites supérieure et inférieure. J'ai fait grand usage, dans ce chapitre et aillcui's, du beau mémoire de M. Darboux Sur les fonctions discontinues. J'ai repris ensuite les définitions des fonctions n', logo;, x'''\ à propos de la fonction a% j'ai reproduit la démonstration par laquelle Cauchy déduit la forme de cette fonction de son théorème d'addition .

Dans le chapitre suivant, je reprends la théorie des séries et des produits infinis; je me suis appesanti particulièrement sur les séries ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une variable; à la vérité, j'ai supposé, là comme partout, la variable réelle : une variable imaginaire, c'est au fond deux variables réelles, et je tenais à me limiter au cas d'une seule variable; mais l'exposition est faite de manière à permettre la généralisation immédiatement et sans aucun effort; il n'y a, le plus souvent, qu'à mettre le mot module à la place des mots valeur absolue. Dans notre enseignement, on déduit d'habitude de la formule de Taylor les développements en série des fonctions trigonométriques, et l'on tire leurs développements en produits infinis ou en séries de fractions simples de propositions générales appartenant à la théorie des fonctions d'une variable imaginaire; il me paraît bien regi'ettal)le de laisser ignorei- aux étudiants les procédés si simples, si naturels par lesquels Euler a obtenu ces développements; ils deviennent tous )'igoureux par l'application d'un même raisonnement, de celui qui permet de déduire h contimiité d'une série de l'uniformité de sa convergence. Il va sans dire que j'ai diî dégager la délinilion