CHAPITRE PREMIER

1. Les nombres rationnels sont les nombres entiers, y compris zéro, et les fractions dont les deux termes sont entiers : un nomljre rationnel peut être positif ou négatif. Supposant acquise la théorie des opérations élémentaires, addition, soustraction, multiplication, division, au sens de l'arithmétique ou de l'algèbre, sur les nombres rationnels positifs ou négatifs, je veux montrer comment on peut parvenir à la notion d'une nouvelle classe de nombres, dits nombres irrationnels ou incommensura'bles, et étendre à ces nombres la théorie des opérations élémentaires; je montrerai d'abord, sur un exemple simple, comment s'introduit la notion de ces nombres.

2. On sait qu'il n'existe aucun nombre rationnel positif qui vérifie l'équation

On observera tout d'abord que la considération de cette équation permet de séparer tous les nombres rationnels positifs en deux classes : la première classe contenant tous ceux dont le carré est plus petit que 3, la seconde contenant tous ceux dont le carré est plus grand que 3; tout nombre de la première classe est plus petit qu'un nombre quelconque de la seconde classe; tout nombre de la seconde classe Tannery. — Théorie. 1

est plus grand qu'un noml)re quelconque de la première classe : en efTet, de deux nombres rationnels positifs, c'est le plus grand qui a le plus grand carré. Il importe de i-emarquer encoi-e que dans la première classe il n'existe aucun nombre qui soit plus grand que les autres nombres de la même classe, et que, dans la seconde classe, il n'existe aucun nombre qui soit plus petit que les autres nombres de la même classe.

Supposons en effet qu'il y ait dans la première classe un nombre a qui soit plus grand que tous les autres nombres de la même classe ; puisque a appartient à la première classe, a' est plus petit que 3; puisque a est le plus grand nombre de la première classe, tout nombre rationnel a -}- h plus grand que a appartient à la seconde classe; on a donc, en supposant positif le nombre rationnel /i,

(a + hy > 3; mais la différence

{a + hy — a' = h (2a + h)

peut être supposée plus petite qu'un nombre rationnel positif quelconque £ ; il suffit pour cela de supposer

on peut, en particulier, choisir h de façon que cette différence soit moindre que le nombre positif 3 — a' ; mais l'inégalité

(a + liy — a^ < 3 — aen traîne la suivante :

(a -h hy <: 3.

La contradiction est manifeste. On montrera de même que, dans la seconde classe, il ne peut y avoir de nombre plus petit que tous les autres nombres de la même classe.

3. C'est cette possibilité de décompo.^er ainsi la totalité des nombres rationnels en deux classes jouissant des propriétés sur lesquelles je viens d'appeler l'attention, qui me servira de point de départ.

Toutes les fois qu'on aura un moyen défini de séparer la totalité des nombres rationnels positifs et négatifs en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre de la seconde classe, telles en outre qu'il n'y ait pas dans la première classe un nombre plus grand que les autres nombres de la même classe et, dans la seconde classe, un nombre plus petit que les autres nombres de la même classe, je dirai qu'on a "défini un nombre irrationnel ; la première classe sera dite classe inférieure relative au nombre irrationnel ; la seconde classe, classe supérieure.

Un nombre irrationnel pourra être représenté par une lettre, cette lettre ne signifiant rien autre cbose qu'un mode défini de classification des nombres rationnels, tel que celui qui vient d'être décrit.

Un nombre irrationnel A est dit plus grand que tout nombre (rationnel) de la classe inférieure relative à lui; tout nombre de cette classe est dit plus petit que A; de même A est dit plus petit que tout nombre de la classe supérieure, etc. ; on dit encore que A est compris entre deux nombres rationnels quelconques appartenant l'un à la classe inférieure, l'autre à la classe supérieure, et l'on emploie les symboles <;, >- à la place des mots plus petit, plus grand.

Pour définir un nombre irrationnel, il suffira évidemment d'avoir un moyen de décomposer en deux classes, analogues à celles qui ont été décrites plus haut, tous les nombres rationnels compris entre deux nombres rationnels a, h; on complétera la classe inférieure en y faisant entrer tous les nombres rationnels plus petits que le plus petit des nombres a, h, etc.

Le paragraphe précédent contient, dans ce sens, la définition du nombre irrationnel [^3, ou de la racine carrée arithmétique de 3; la première classe, ou classe inférieure, contient tous les nombres rationnels négatifs, et tous les nombres rationnels positifs dont le carré est inférieur à 3; la seconde classe contient tous les nombres rationnels positifs dont le carré est supérieur à 3 ; mais il importe de remarquer qu'il n'est pas permis de dire actuellement que le carré de ce nombre irrationnel 1/3 est égal à 3. Cette expression, le carré d'un nombre irrationnel, n'a encore aucun sens, et ce n'est qu'après un chemin assez long qu'on parviendra à lui en donner un.

4. Je veux encore faire observer, avant de reprendre la suile des

4 THÉORIE DES FONCTIONS d'uNE VARIABLE.

définitions, qu'on peut décomposer la totalité des nombres rationnels en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre de la seconde classe, mais qui ne jouissent pas des autres propriétés imposées dans la définition d'un nombre irrationnel; on peut, par exemple, mettre dans la première classe un nombre rationnel quelconque a et tous les nombres rationnels plus petits que lui et mettre dans la seconde classe tous les nombres rationnels plus grands que a; la première classe contient alors un nombre a plus grand que tous les autres nombres de la même classe ; de même on aurait pu mettre dans la seconde classe le nombre a et tous les nombres rationnels qui sont plus grands que lui, et dans la première classe tous les nombres rationnels inférieurs à a ; ces modes de décomposition des nombres rationnels en deux classes ne définissent point de nombre irrationnel ; toutefois il y a lieu de les considérer et de dire qu'ils définissent, l'un et l'autre, le nombre rationnel a.

5. Deux nombres irrationnels A et B sont dits égaux (et l'on écrit A =: B), quand les deux modes de décomposition qui les définissent sont identiques, en sorte que tout nombre (rationnel) appartenant à l'une des deux classes, inférieure ou supérieure, relatives à l'un des deux nombres A, B appartienne aussi à la classe de même nom relative à l'autre; au surplus, l'identité des classes inférieures entraîne l'identité des classes supérieures et réciproquement. Il résulte de cette définition que, si deux nombres irrationnels sont égaux à un troisième nombre irrationnel, ils sont égaux entre eux.

Soient A, B deux nombres irrationnels non égaux. Les deux classes inférieures relatives à ces deux nombres ne sont pas identiques; il y a un nombre (rationnel) qui figure dans l'une d'elles, par exemple dans la classe inférieure relative à B, et qui ne figure pas dans l'autre, qui, par conséquent, figure dans la classe supérieure relative à A; on dit alors que A est plus petit que B, ou que B est plus grand que A, et l'on écrit :

Ainsi, par définition, l'inégalité

relative aux deux nombres irrationnels A, B implique l'existence d'un

nombre rationnel «, tel que l'on ait A <: a, a < B : il convient d'observer qu'un tel nombre existe, quels que soient les nombres A, B vérifiant l'inég-alité

Gela est évident si les deux nombres A, B sont rationnels; cela résulte, dans le cas où B seul est rationnel, de ce. que, dans la classe supérieure relative à A, classe dont fait partie le nombre rationnel B, il y a des nombres rationnels plus petits que B; un raisonnement pareil s'applique au cas où A est rationnel et B irrationnel ; on voit aussi, inversement, que l'existence d'un nombre rationnel a tel que l'on ait

entraîne, dans tous les cas, l'inégalité

Dès lors, on reconnaît que A, B, G étant trois nombres quelconques, rationnels ou non, les inégalités

entraînent l'inégalité

les inégalités proposées entraînent en effet l'existence de nombres rationnels «, h tels que l'on ait

or a est plus petit que 6, puisque, si B est irrationnel, a appartient à la classe inférieure et & à la classe supérieure relatives à B; enfin a est aussi plus petit que G, puisque, si G est irrationnel, h et par conséquent o, qui est plus petit que h^ appartiennent à la classe inférieure relative à G; enfin les inégalités

où a est rationnel, entraînent l'inégalité A<;G.

6' THÉORIE DES FONCTIONS . D'uNE VARIABLE.

6. Si l'on considère deux nombres inégaux quelconques A et B :> A, il y a une infinité de nombres rationnels a tels que l'on ait

en efTet, après avoir choisi un tel nombre, on voit qu'il existe un second nombre rationnel a' tel que l'on ait

et par conséquent

Tout nombre rationnel a" compris entre a et a' satisfait aussi aux inégalités

tous ces nombres sont dits compris entre A et B.

Étant donnés deux nombres rationnels ou non A, B, si l'on peut prouver qu'ils sont tous les deux compris entre deux nombres rationnels dont la difTérence soit moindre que le nombre rationnel positif £, et cela quel que soit ce nombre £, on peut affirmer que les deux nombres A, B sont égaux. Si l'on avait en eflet

il existerait deux nombres rationnels a, h tels que l'on eût

et l'on voit que les deux nombres A, B ne pourraient être compris entre deux nombres rationnels a,, h^^ dont la différence fût moindre que h — rt, puisque les inégalités

ttj <: A <; B <; &,

entraînent les suivantes :

7. Un nombre irrationnel est dit positif s'il est plus grand que zéro, négatif dans le cas contraire. Étant donné un nombre irrationnel A, on peut lui adjoindre un autre nombre irrationnel A'

défini de la façon suivante; un nombre rationnel a appartiendra à la classe inférieure ou à la classe supérieure relative au nombre A' suivant que le nombre rationnel — a appartient à la classe supérieure ou à la classe inférieure relative au nombre A; il est clair que le nombre A peut se déduire du nombre A' comme le nombre A' a été déduit du nombre A; l'un des deux nombres est positif, l'autre est négatif : ils sont dits égaux et de signes contraires ; la valeur absolue des deux nombres est celui des deux qui est positif; on convient de donner aux deux symboles A et -i- A la même signification et de représenter par — A le nombre égal et de signe contraire à A.

8. Soient A un nombre irrationnel et a un nombre rationnel positif, on appelle valeur approchée par défaut du nombre A, à a près, le plus grand nombre de la forme mx qui soit plus petit que A, n étant un nombre entier positif, nul ou négatif; (n + 1) a est alors la valeur approchée de A, par excès, à a près.

A est compris entre na. et (n + 1) a; comme le nombre a est aussi petit qu'on le veut, on voit qu'un nombre irrationnel peut être compris entre des nombres rationnels dont la différence est aussi petite qu'on le veut.

On voit de suite que — (n + 1) % et — na sont les valeurs approchées, par défaut et par excès, à a près, du nombre — A ; cette remarque permet de borner l'étude qui va suivre au cas où A est positif; n est alors égal ou supérieur à zéro.

La façon dont la valeur approchée par défaut m du nombre irrationnel positif A dépend de a est assez compliquée, ainsi elle ne croît pas toujours quand a décroît : on reconnaît sans peine, par exemple, que la valeur approchée par défaut de la racine carrée arithmétique

de 3 à - près est plus grande que la valeur approchée par défaut à —

près; mais les valeurs approchées par défaut à a et à ^ près sont liées par une loi simple quand a est un multiple entier de ^ ; soient en effet na, m^ ces valeurs approchées, et soit a =pP, p étant un nombre entier positif; les inégalités

na < A < (n + 1) a, m^ <; A < ()))+ 1) 3,

dont les premières peuvent s'écrire

np^ < A < (n + 1) p^, entraînent les inégalités suivantes :

d'où l'on tire

m , ïii + 1

ces dernières inégalités montrent que n est la partie entière de — ;

on en conclut :

m ^ np, m^ ^ na,

Ainsi, la valeur approchée par défaut à 3 près est au moins égale à la valeur approchée par défaut à a près ; et la valeur approchée par excès à p près est au plus égale à la valeur approchée par excès à a près.

Dans notre système de numération, il convient de considérer en particulier la suite

des valeurs approchées d'un nombre irralionnel A à

ïo' lÔÔ' '""' ÏÔ^'' '"''

près par défaut ; les nombres que l'on rencontre en s'avançani dans cette suite ne vont jamais en décroissant, de plus si Ton suppose

p et P' étant des nombres entiers, P sera la partie entière du quotient de P' par 10, en sorte que, si les nombres u^„ Up + i sont écrits sous forme de fractions décimales, la partie entière et les/) premiers chiffres décimaux de la fraction u^ + i ne seront autre chose que la fraction Uj, elle-même.

Au contraire, en s'avançant dans la suite

des valeurs approchées par excès à -r-i ——■> ■••■> —--■> ■•• près, les il 1 10 100 10^' ^

nombres que l'on rencontre ne vont jamais en croissant.

9. Il convient de remarquer que, a étant vni nombre rationnel plus petit que A, les termes de la suite précédemment définie,

finissent par dépasser a; soit en etlet b un nombre rationnel plus grand que a, et aussi inférieur à A; si & est égal à une fraction

décimale r—i ii^, sera au moins égal à & et la proposition est vérifiée;

s'il n'en est pas ainsi, en appliquant les règles de l'arithmétique, on peut trouver une fraction décimale moindre que &, qui diffère de h d'une quantité moindre que h — a et qui, par suite, soit à la fois supérieure à a et inférieure à A ; on est donc ramené au premier cas ; en particulier, on voit que chaque terme de la suite tt,, u^^ ..., w^, ... est suivi de termes plus grands que lui.

Il suit de là qu'un nombre irrationnel positif A est complètement défini par la suite de ses valeurs approchées tt,, it^, ..., Up, ...,

^T7' 'acv\'' '"' TTT*' "" P^'*-^'*' *^'^ ^^^*' ^"^ nombre rationnel positif a

devra être rangé dans la classe inférieure ou dans la classe supérieure suivant qu'il y a, ou qu'il n'y a pas, dans cette suite, de nombre égal ou supérieur à a.

10. En réfléchissant sur celte dernière conclusion, on voit s'ouvrir, pour arriver à la théorie des opérations arithmétiques à effectuer sur les nombres irrationnels, deux voies distinctes : d'une part, on peut essayer de faire la théorie des suites qui, comme celle qu'on vient de considérer, définissent un nombre irrationnel; je développerai plus tard cetle méthode qui, bien qu'indirecte, ne demande à l'esprit que peu d'efforts; d'autre part, on peut se borner à considérer des modes

de décomposition en deux classes de la totalité des nombres rationnels ; c'est la marche que je suivrai d'abord.

11'. Soient deux nombres quelconques A, B, rationnels ou non. Soient a, a' , 6, h' des norhbres rationnels satisfaisant aux inégalités

(1) a<:A-<:a', 6 -< B <: 6' ; on aura :

Soit maintenant î' un nombre rationnel; s'il n'y a pas deux nombres rationnels a, h satisfaisant aux conditions (1), tels que l'on ait

c'est que, quels que soient les nombres rationnels a, h satisfaisant à ces conditions, l'on a :

Si l'on avait en effet, pour deux tels nombres a, b,

r <: a -h b, on en conclurait :

et la somme des deux nombres rationnels a<;A, et r — a<cB serait égale à r.

De même, étant donné le nombre rationnel r, s'il n'y a pas deux nombres rationnels a' et b' satisfaisant aux conditions (1) et tels que l'on ait

c'est que l'on a, quels que soient les nombres rationnels a', b' satisfaisant à ces conditions :

Remarquons enfin qu'il ne peut y avoir qu'un seul nombre R rationnel ou non pour lequel on ait, quels que soient les nombres a, b, a', b' qui satisfont aux conditions (1) :

En efïet, quel que soit le nombre rationnel positif e, il y a des nombres rationnels a, h, a' , b' qui satisfont aux inégalités (1) et aux suivantes (§ 8) :

d'où l'on tire

Or deux nombres, rationnels ou non, dont on peut démontrer qu'ils sont compris entre deux nombres rationnels dont la différence est moindre que s, 'et cela quel que soit le nombre positif rationnel e, sont égaux (§ 6).

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter : ou bien il existe un nombre rationnel r satisfaisant à la fois aux inégalités (3) et (4), c'est à dire plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus petits que A et B, et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que A et B ; ou bien il n'existe pas de tel nombre rationnel r. Le premier cas se présente en particulier si les deux nombres A, B sont rationnels et, alors, le nombre r n'est autre chose que A -h B= Toutes les fois que le nombre r existera, je conviendrai de dire qu'i. est la somme des deux nombres A et B, et je le représenterai par A + B. Maintenant, puisqu'un nombre rationnel r qui ne serait ni la somme de deux nombres rationnels a, h respectivement plus petits que A et B, ni la somme de deux nombres rationnels a' , b' respectivement plus grands que A, B, satisferait à la fois aux inégalités

et cela quels que fussent les nombres rationnels a, b, a', b' qui vérifient les conditions (1), on voit que, s'il n'existe pas de nombre r, c'est que tout nombre rationnel est, ou bien la somme de deux nombres rationnels a, b plus petits respectivement que A, B, ou bien la somme de deux nombres rationnels a', b' respectivement plus grands que A, B. S'il en est ainsi, rangeons dans une première classe tous les nombres rationnels qui sont la somme de deux nombres rationnels respectivement plus petits que les nombres A, B, et dans une seconde classe tous les nombres rationnels qui sont la somme

12 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

de deux nombres rationnels respectivement plus grands que les nombres A, B ; chaque nombre de la première classe sera plus petit que chaque nombre de la seconde classe, en vertu de l'inégalité (2) ; dans la première classe il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres, car si l'on a

il existe des nombres rationnels a^, h^ tels que l'on ait

rt <; a, <; A, ?><;?>,<; B,

et le nombre «, + &, >- a + h, appartient comme a + b k h première classe; de même il n'y a pas dans la seconde classe de nom])re plus petit que tous les autres.

On a donc (§ 3) défini un nombre irrationnel, je conviendrai de dire que ce nombre est la somme des deux nombres A, B, et je le représenterai encore par A + B.

Dans tous les cas le nombre A + B est défini comme étant plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus petits que A, B et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que A, B ; enfin, il résulte du raisonnement même que tout nombre rationnel plus petit que A + B est la somme de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A, B et que tout nombre rationnel plus grand que A + B est la somme de deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B.

Puisque la somme de deux nombres rationnels ne change pas lorsqu'on change l'ordre de ses termes, il résulte de la définition précédente que l'on a :

Soit C un troisième noml3re rationnel ou non, l'expression A + B + C désigne un nombre qui, d'une part, est plus grand que tous les nombres rationnels obtenus en ajoutant un nombre rationnel plus petit que A + B et un nombre rationnel plus petit que C, ou encore que tous les nombres obtenus en ajoutant trois nombres rationnels respectivement plus petits que A, B, C, et qui, de l'autre, est plus petit que tous les nombres rationnels obtenus en ajoutant trois nombres

rationnels respectivement plus grands que A, B, C; on voit de suite que le symbole A + (B 4- G) a le même sens ; on a donc :

(II) A + B + C =r A + (B + C).

Si l'on suppose B = 0, on voit que tous les nombres désignés plus haut par h sont les nombres rationnels négatifs et que les nombres désignés par h' sont les nombres rationnels positifs; or, en ajoutant au nombre rationnel a < A un nombre négatif, on obtient un nombre plus petit que a et par conséquent que A; en ajoutant au nombre rationnel a' un nombre positif, on obtient un nombre rationnel plus grand que a' et par conséquent que A ; il résulte de là que A est la somme de A et de zéro, en d'autres termes, on a :