III) A + 0 == A

Si l'on a B = — A, et si A est positif, les nombres rationnels b plus petits que B ne sont autres que les nombres rationnels a' plus grands que A changés de signe (§ 7), en sorte que l'on a, quels que soient les nombres rationnels a et b satisfaisant aux conditions (d) :

on aura de même, pour les nombres rationnels a', b' satisfaisant aux conditions (1) :

On en conclut que zéro est la somme des deux nombres A et B r= — A ; en d'autres termes, on a :

(IV) A + (— A) ou A — A =: 0.

Les égalités (I), (II), (III), (IV) expriment les propriétés fondamentales de l'addition.

Si B est positif, il existe un nombre i-ationnel /; <; B, et deux nombres rationnels a et a' tels que l'on ait (§ 8),

le nombre a + b est plus grand que a' et par conséquent que A; il est d'ailleurs plus petit que A + B, on a par conséquent :

donc, en ajoutant à un nombre un nombre positif, on oljtient un nombre plus grand que lui; de même en ajoutant à un nombre un nombre négatif, on obtient un nombre plus petit. Réciproquement, si on augmente un nombre en lui ajoutant un autre nombre, c'est que le nombi'e ajouté est positif; si on le diminue', c'est que le nombre ajouté est négatif; si on ne le change pas, c'est que le nombre ajouté est nul.

Étant donnés les nombres A et B, il y a un nombre qui ajouté à B donne pour somme A, c'est le nombre A + ( — B), car on a, en vertu des égalités (II), (III), (IV) :

Si l'on a A>-B, .le nombre A + ( — B) ou, plus Ijrièveraent, A — B qui, ajouté à B, reproduit A est nécessairement positif; si l'on a A <: B, le nombre A — B est nécessairement négatif.

Ainsi tout nombre A >> B peut être regardé comme la somme du nombre B et d'un nombre positif, tout nombre A <: B peut être regardé comme la somme du nombre B et d'un nombre négatif.

Il résulte de là que l'inégalité

entraîne l'inégalité

et réciproquement ; en effet on peut écrire :

P étant un nombre positif; on aura alors :

En ajoutant un même nombre à deux nombres différents, on obtient deux nombres différents; de même en ajoutant deux nombres différents à un même nombre, on obtient deux nombres différents. Le nombre qui ajouté à B donne pour somme A est donc unique; c'est la différence entre A et B.

La théorie de la soustraction peut être regardée comme étendue aux nombres irrationnels.

12. Les détails dans lesquels je suis entré me permettront d'aller plus vite dans la théorie de la multiplication; je me contenterai de marquer la suite des idées.

Soient A et B deux nombres positifs quelconques. Soient a, a', h, h' des nombres rationnels positifs quelconques qui vérifient les inégalités

(1) a<;A<;a', fo < B <; ?>', on aura :

(2) ah^a'h'.

Si un nombre rationnel r positif est tel qu'il n'y ait point deux nombres rationnels positifs a, h satisfaisant aux inégalités (1) et à l'égalité

î- = ah,

c'est que l'on a pour tous les nombres rationnels positifs «, b qui vérifient les inégalités (1) :

Si un nombre rationnel positif r est tel qu'il n'y ait point deux nombres rationnels a' , h' vérifiant les inégalités (1) et l'égalité

c'est que l'on a, pour tous les nombres rationnels a' , h' qui vérifient les inégalités (1) :

Il ne peut y avoir qu'un seul nombre rationnel ou non r qui vérifie simultanément les inégalités (3) et (4); cela résulte de ce que, en posant

a' — a = e, h' — & = •/;, on a

en supposant les nombres rationnels e, -/j plus petits que le nombre rationnel S, plus petit lui-même que l'unité; si l'on désigne par a un nombre rationnel positif quelconque, il suffira de prendre

-16 THÉORIE DES FONCTIONS D'uNE VARIABLE.

pour que l'on ait

a' h' — ah < a,

et le raisonnement s'achèvera comme dans la théorie de l'addition.

S'il existe un nomhre rationnel r vérifiant à la fois les inégalités (3) et (4) quels que soient les nombres rationnels positifs a, b, a' , h' qui satisfont aux conditions (1), il sera par définition le produit AB; s'il n'existe pas de tel nombre c, chaque nombre rationnel positif sera ou le produit de deux nombres rationnels positifs plus petits respectivement que les nombres A, B, ou le produit de deux nombres rationnels positifs respectivement plus grands que A, B; on est ainsi amené à décomposer la totalité des nombres rationnels positifs en deux classes, dont la première comprend tous les nombres obtenus en multipliant deux nombres rationnels positifs l'espectivement plus petits que A, B, dont la seconde comprend tous les nombres obtenus en multipliant deux nombi-es rationnels positifs respectivement plus grands que A, B ; chaque nombre de la première classe est plus petit que chaque nombre de la seconde classe; il n'y a pas dans la première classe de nombre plus grand que tous les autres ; il n'y a pas dans la seconde classe de nombre plus petit que tous les autres. On définit ainsi un nombre irrationnel positif: ce nombre est par définition le produit AB.

Dans tous les cas le produit des deux nombres positifs A, B peut être défini comme un nombre plus grand que le produit de deux nombres rationnels positifs quelconques respectivement plus petits que A, B et plus petit que le produit de deux nombres rationnels positifs quelconques respectivement plus grands que A, B.

Dans tous les cas aussi chaque nombre rationnel positif plus petit que AB est le produit de deux nombres rationnels positifs respectivement plus petits que A, B; chaque nombre rationnel positif plus grand que AB est le produit de deux nombres rationnels positifs plus grands respectivement que A, B.

Le produit ABC de trois nombres positifs A, B, G est un nombre qui est plus grand que le produit de trois nombres rationnels positifs quelconques respectivement plus petits que A, B, G, et plus petit que le produit de trois nombres rationnels positifs quelconques respectivement plus grands que A, B, G.

Dans un produit de deux, trois, ... facteurs positifs, on peut

intervertir l'ordre des termes, remplacer deux ou plusieurs facteurs par leur produit effectué.

Le produit de deux nombres positifs ou négatifs A, B est un nombre dont la valeur absolue est le produit des valeurs absolues des nombres A, B, qui est positif si les deux nombres A, B sont de même signe, négatif dans le cas contraire.

Si les deux nombres A, B sont différents de zéro, leur produit n'est pas nul.

Par définition, le produit d'un nombre quelconque par zéro est zéro.

Les théorèmes sur la possibilité d'intervertir les facteurs d'un produit sont vrais, ainsi que les conséquences qu'on en tire, quels que soient les facteurs, positifs, nuls ou négatifs.

Soient A, B, C trois nombres positifs quelconques; désignons par «, a', b, h' , c, c'des nombres rationnels positifs vérifiant les inégalités

le nombre A (B + G) est compris entre a {b ■+- c) et ((' {b' + c'); la difterence entre ces deux nombres peut d'ailleurs être supposée plus petite que tel nombre rationnel positif e que l'on voudra; le nombre AB + AC est compris entre ah + ac =z a (b + c) et a' b' + a' c' = a' {b' -+- c'), on a donc :