CHAPITRE VII. INTEGRALES REFIMES " IÇ

= P faQ, a), N («0, a) = o ; si la fonction f(x) est non-croissante, on a au contraire \ (a0> «) =: /*(«0) — /f0) == — N (a0, a), P (a0, a) = o.

Si, en supposant « ■< 6 <C c, la fonction /(a?) est à variation bornée clans les intervalles (a, b), (6, c) elle est évidemment à variation bornée dans l'intervalle (a, c) ; je dis de plus que l'on a

Occupons-nous de la première de ces égalités.

Employons pour distinguer ce qui se rapporte aux divers intervalles, les notations 2 (a, 6), 2(6, c), 2 (a, c) : elles désigneront des sommes formées comme celles que l'on a désignées précédemment par 2, et relatives à des décompositions des intervalles (a, b), (6, c), (a, c).

Si la décomposition de l'intervalle (a, c) à laquelle se rapporte la somme 2(a, c) est obtenue par la juxtaposition des deux décompositions des intervalles (a, b), (6, c) auxquelles se rapportent les sommes 2 (a, 6), 2(6, c), il est clair que l'on a

Donnons-nous un nombre positifs : il existe une décomposition de l'intervalle (a, c), une décomposition de l'intervalle [a, b), une décomposition de l'intervalle (6, c) telles que les différences respectives entre les quantités V (a, c), V(a, 6), V (6, c) et les sommes 1{a, c), 2 (a, 6), 2(6, c) qui se rapportent à ces décompositions soient moindres que s ; mais, pour ces sommes, l'égalité 4 n'est pas vérifiée, en général. Rangeons par ordre de grandeur croissante tous les nombres qui figurent dans ces trois décompositions, y compris les nombres a, b, c ; il en résultera trois nouvelles décompositions des intervalles (a, c), (a, 6), (6, c) telles que la première résulte manifestement de la juxtaposition des deux dernières ; pour ces nouvelles décompositions l'égalité sera vérifiée; mais les nouvelles sommes 2 (a, c), 2 (a, 6), 2(6, c) sont supérieures ou égales aux anciennes, puisque les décompositions auxquelles elles se rap-

portent se déduisent des anciennes en introduisant de nouveaux nombres intercalaires ; les nouvelles différences

qui sont toujours positives ou nulles sont certainement plus petites que s ; il faut donc que l'égalité

Y (a, c) = Y(a, b) +V(fc, c)

soit vérifiée, puisqu'il y a des nombres aussi voisins qu'on le veut

de V(a, c), Y (a, b), V(6, c) qui vérifient celte égalité. Les formules

N (a> 6) = V(a,fe)-[/(6) -/(«)]

qui sont des conséquences immédiates des égalités (i), et les formules analogues relatives aux intervalles (b, c), (a, c), permettent de déduire de la première égalité (3) la seconde et la troisième de ces égalités.

Il me sera commode d'avoir remarqué que, si une décomposition de l'intervalle (a, c) résulte de la juxtaposition de deux décompositions des deux intervalles (a, b), (b, c), on a

et que les trois différences entre crochets sont positives ou nulles ; si, par conséquent, on sait que la première est plus petite que le nombre positif s, on est certain qu'il en est de même des deux autres.

247. — Supposons que la fonction f (as) soit à variation bornée dans l'intervalle (a, 6) : si les nombres a, fi appartiennent à cet intervalle, les symboles Y (a, fi), P(a, |3), N fa, fi) ont, par ce qui précède, une signification bien claire, pourvu que a soit moindre que fi; il est tout naturel de leur attribuer la valeur o quand fi est égal à a; j'exclus le cas où fi serait inférieur à a. P a, fiy N (a, |3) sont positifs ou nuls.