CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES

On a, en supposant que x appartienne à l'intervalle (a, b),

j[x) —f(a) = P (a, x) — N (a, ce) ;

puis, en supposant que h soit positif et que x -+- h appartienne aussi à l'intervalle (a, 6)

P (a, x -h h) = P (a, ce) -h P (ce, ce -h h), N (a, ce H- h) = N (a, ce) -+- N (ce, x ■+- h) ;

les deux dernières égalités montrent que les fonctions V(a,x), N(a, se) [et par conséquent, la fonction Y (a, x)] sont non-décroissantes dans l'intervalle (a, b). En vertu de la première égalité, on voit que la fonction f(x) peut être, dans l'intervalle (a, b), regardée comme la différence entre deux fonctions non-décroissantes.

Si la fonction f(x) est non-décroissante dans l'intervalle (a0 a), la fonction N (a, x) est constamment nulle; c'est au contraire la fonction P (a, x) qui est toujours nulle quand la fonction f(x) est non-croissante.

Si la fonction f(x) est continue et à variation bornée dans l'intervalle (a, b), les fonctions V(a, x), P(a, x), N(a, x) sont continues clans le même intervalle.

A cause des relations, valables dans tout l'intervalle (a, b),

2P(a, x) = Y (a, x) H- f(x) — /(«), aN(a, ce) = Y (a, ce) — /(ce) H- /(a),

il suffit évidemment de démontrer la continuité de la fonction Y(a, œ).

Soit s un nombre positif donné; il lui correspond un nombre positif yj tel que l'on ait | f(x') — f(x) | <C s sous la condition que se et x' appartiennent à l'intervalle (a, b) et que l'on ait | x' — x \ <>7> tel aussi que la différence positive ou nulle Y (a, 6) — Z(a, b) soit moindre que s pourvu que tous les intervalles partiels de la décomposition à laquelle se rapporte la somme 2 (a, 6) soient moindres que vj. Soient maintenant a, /3 deux nombres quelconques appartenant à l'intervalle (a, b) et dont la différence soit moindre, en valeur absolue, que yj. Considérons une décomposition de l'intervalle (a, 6) où a, ]S soient deux nombres consécu-

tifs et telle que tous les intervalles partiels soient moindres que y?, les sommes 2 (a, a), 2 (a, ]3) qui interviendront plus loin, se rapporteront à cette décomposition arrêtée au nombre a ou au nombre |S'; d'après une remarque antérieure, les différences positives ou nulles Y (a, a) — 2 (a, a), Y(a, |3) — 1 (a, /3) seront moindres que s ; on a d'ailleurs

2(fl,«) = S(«, P)±I/(«)-/(P)|

en prenant le signe -I- ou le signe — suivant que |3 est plus petit ou plus grand que a. On aura donc

et par conséquent

|Y(aJ)-V(a,K)i<n,

sous la seule condition |3 — a ■< vj. La proposition est démontrée.