CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES

cet intervalle est borné en haut. Sa borne supérieure V (a0, a) est la variation totale de la fonction f(x) dans l'intervalle (a0, a) : elle est au plus égale à A. Il est clair que, si l'on supprime quelqu'un des nombres intercalaires ai, a>, .... an-i, la somme 2 reste la même ou diminue ; que, si on introduit de nouveaux nombres intercalaires, tout en conservant les anciens, la somme 2 reste la même ou augmente; qu'il y a parmi les sommes 2 des nombres aussi voisins qu'on le veut de V(a0, a). 11 y a en particulier des sommes 2 aussi voisines qu'on le veut de V (a0, a) et pour lesquelles les intervalles partiels sont aussi petits qu'on le veut : il suffit en effet de partir d'une quelconque Do des sommes 2 telle que l'on ait o< V — 20 <Cs, et de subdiviser ensuite les intervalles en intervalles partiels, plus petits que la limite qu'on s'est fixée. Mais on ne peut affirmer ici, en général, comme pour les intégrales par excès et par défaut, qu'une somme 2 diffère aussi peu qu'on le veut de V(a0, a) pourvu que les intervalles soient suffisamment petits, parce que l'introduction ou la suppression d'un nombre intercalaire a pour lequel la fonction serait discontinue peut modifier la somme 2 d'une quantité finie, quelque petits que soient les intervalles. 11 est aisé de voir que, si la fonction f(x) est continue clans l'intervalle (ao, a) et si elle est à variation bornée dans ce même intervalle, les choses se passent comme pour les intégrales par excès et par défaut : une somme 1 est aussi approchée de la variation totale que l'on veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits.

En effet, si l'on désigne par â le plus grand des écarts de la fonctiony(a;) relatifs aux intervalles (a0, ai), (ai, àî) ... (a„i, a), on reconnaît sans peine que l'introduction d'un nombre intercalaire dans la suite a0, at, ..., a„i, a ne peut augmenter la somme 2! que de 2 â au plus; l'introduction de /' nombres intercalaires ne peut de même augmenter 2 que de i rà ; d'autre part on sait que è peut être supposé aussi petit qu'on le veut, pourvu que les intervalles partiels soient suffisamment petits (n° 164) ; dès lors la démonstration du n° 241, avec quelques petits changements que le lecteur fera de lui-même, conduit à la proposition énoncée.

Supposons toujours que la fonction f{x) soit à variation bornée. Une somme 1 relative à la décomposition (a0, alf ..., an-i, a) de l'intervalle (a0, a) est la somme des valeurs absolues des

Tannebt II. — Introduction à la Théorie des fonctions 2

l8 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

différences

/(fli) -/K)./(«2) -/(«.), -./(«) -/(««-0-

Parmi ces différences, si l'on ne tient pas compte de celles qui sont nulles, les unes sont positives, les autres sont négatives ; soit p la somme de celles qui sont positives, — n la somme de celles qui sont négatives ; à chaque décomposition correspond un nombre p et un nombre n ; on va montrer que l'ensemble des nombres p et l'ensemble des nombres n qui correspondent aux diverses décompositions possibles sont des ensembles bornés en haut et que leurs bornes supérieures que je désignerai par P (a0, a), N (a0, a) satisfont aux relations

1 ^ iP(«o,«)-NK,«)=/(«)-/(«0).

On a en effet, pour la décomposition considérée (a) p-±-n = 2 p — n =f(a) — /(a0).

La première de ces égalités (2) montre que les nombres positifs p, n ne peuvent dépasser 2 et, par conséquent, V (a0, a) ; l'ensemble des nombres p et l'ensemble des nombres n sont donc bornés en haut. Ceci posé, si l'on se donne un nombre positif s, il y a certainement une décomposition pour laquelle les nombres 2, p, n diffèrent respectivement de leurs bornes supérieures V (a , a, P(a0, a), N(a0, a) de quantités moindres que s : en effet, il y a certainement trois décompositions telles que les trois nombres positifs ou nuls V (a0, a) — 2, P (a0, a) — p, N (a0, a) — n soient moindres que s, étant entendu que 2 se rapporte à la première décomposition, p à la seconde, n à la troisième; rano-eons par ordre de grandeur tous les nombres intercalaires qui entrent dans ces décompositions : il en résultera une quatrième décomposition où les nombres 2, p, n seront remplacés par des nombres 2', p', n', au moins égaux ; donc les nombres toujours positifs ou nuls V(a0, a) — 2', P(a0, a) —p', N [a0, a) — ni seront, a fortiori, plus petits que e. Dès lors, les deux égalités (r) sont des conséquences évidentes des égnlités 2'.

Dans le cas où la fonction f(x) est non-décroissante dans l'intervalle (ob, a , il est clair que l'on a V nt), à) =/(a0) f(à