CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE iy

du n° 278 sur la définition sans ambiguïté de la mesure d'un angle ayant pour sommet un point A, au moyen d'une demidroite (À) qui part de ce point A, il reconnaîtra sans peine, en se fondant toujours sur la continuité, que si l'intervalle (Q. t) est tel qu'on puisse mener par le point A une demi-droite (A) qui n'ait aucun point commun avec la portion du lien qui correspond à cet intervalle, la valeur de [Q, t\k n'est autre chose que l'angle dont il faut faire tourner une demi-droite partant du point A pour l'amener, sans rencontrer (À), de la position où elle passe par le point P (ou Q) du lien, à la position où elle passe par le point M (ou t). Cette propriété aurait pu servir de point de départ pour la définition de [Q, t]A.

Remarquons encore que, si l'on considère une direction fixe AD, partant du point A et d'ailleurs quelconque, les remarques précécédentes permettent de définir sans ambiguïté, l'angle (AD, AM) comme une fonction continue de /. On pourra par exemple, choisir arbitrairement l'une des déterminations de l'angle AD, AP) et poser ensuite

(AD, AM) = (AD, AP) + [0, t]A.

Il est clair que l'angle [0, /] v, que l'on a regardé jusqu'ici surtout comme une fonction de t, est une fonction des deux variables Q, t assujetties l'une et l'autre à appartenir à l'intervalle (t0, t{). Cette fonction jouit des propriétés qu'expriment les égalités

qui, lorsque les angles qui y figurent sont moindres que - en valeur absolue, résultent de la définition de l'angle donnée au n° 277. Quand il n'en est pas ainsi, il suffira, pour les établir, de fractionner les intervalles.

La relation [t, t']x = [0, t']A — [S, £]A montre que la fonction [t, t']A des deux variables t, t', définies dans l'ensemble de ces variables qui satisfont aux conditions

iy6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

est, dans cet ensemble, une fonction continue de ces deux variables.

La fonction [9, /]A dépend des coordonnées a, b du point A, que l'on a jusqu'ici regardées comme fixes, et on peut la considérer comme une fonction de ces coordonnées ; mais il importe de remarquer, à ce point de vue, que cette fonction de a, b n'est définie que si le point A n'appartient pas au lien, s'il n'y a pas de valeur de t appartenant à l'intervalle [U, ti) pour laquelle on ait à la fois

En reprenant les notations du début on voit tout de suite que g(t), h(t) sont des fonctions continues de a, b en un point qui n'appartient pas au lien (T), et il est bien aisé d'en conclure qu'il en est de même de l'expression [9, t]A regardée comme une fonction de a, b ; on observera encore que si l'un des nombres a, b au moins est suffisamment grand en valeur absolue, la fonction [9, t] est certainement très petite en valeur absolue; cela résulte, si l'on veut, de l'égalité

^ - a (0 cos [6, t]A j = (x - Ç)» -h (y - ^

où le second membre, quels que soient les nombres 9, t appartenant à l'intervalle (tQ, U), reste inférieur à un nombre positif fixe, tandis que p2 est très grand ; 1 égalité exige que le facteur qui multiplie o2 soit très petit ; il faut pour cela que - et cos [9, /]A soient très voisins de i, et par suite que [9, /]v soit très voisin de o, au moins lorsque t est suffisamment voisin de 9 pour qu'on sacbe que

[9, /]A est en valeur absolue moindre que - ; s'il en est autrement, l'intercalation de nombres convenables entre 9 et / permet d'achever la démonstration.