Considérons le lien (T), défini par les formules

x = y(t),y = ty(t), to^t^ti.

Soit d une valeur du paramètre / appartenant à l'intervalle (t0, tx) et soient £, yj les coordonnées du point correspondant que je désignerai par P ; je désignerai par M le point variable dont les coordonnées x, y correspondent à la valeur t du paramètre et par A un point fixe, de coordonnées a, b, qui n'appartienne point au lien : soit (? la distance du point fixe A au lien.

Là mesure de l'angle (AP, AM) a été définie au n° 277 ; c'est un nombre w déterminé à un multiple près de 2tî par les formules concordantes

l cos » = (S-<0(*-<0 + h-t)Cr-'0 = g(t] (,) (,inM = (i-«)(r-*)^;(»-«)h-») = M0

où p, r désignent les distances

du point A aux points P, M, et où les seconds membres sont évidemment des fonctions continues de / dans l'intervalle (lo, ty).

On va montrer que cet angle peut être défini dans le même intervalle comme une fonction continue de /, s'annulant pour t = 9; ces conditions, d'ailleurs, définissent entièrement la fonction.

Soit 6' une valeur de t appartenant à l'intervalle (t0, ii) et assez voisine de Q pour que la distance du point M au point P soit moindre que iï\f~2 lorsque t appartient à (B, 6'); on aura, pour ces valeurs de /,

{x — £)2 -+■ (y — r,)2 = p2 -(- r2 — 2 p?" cos œ <; 2 ô2 ;

o et r sont au moins égaux à â", rf -\- r2 est au moins égal à 2$2 ; l'inégalité précédente entraîne donc cos w >> o ; il y a donc un

angle w, compris entre — - et -, a savoir

m = arc si a /( (0 — arc is -4rf ,

1 7-i INTRODUCTION A LA THIÎOR1E DES FONCTIONS

qui vérifie les égalités ( i ; il s'annule pour l = 9 : cet angle, ainsi défini dans l'intervalle (6, 9'), est la seule fonction continue de t qui satifasse aux équations (i) et qui s'annule pour t = 9 ; car si une autre fonction û satisfaisait aux mêmes conditions, la différence Q, — w serait aussi une fonction continue de t dans l'intervalle {9, 9r) ; elle doit d'ailleurs être un multiple de 2 7t; ce serait donc une constante et cette constante serait nulle puisqu'elle est nulle pour / = o.

Désignons par [9, i\K la fonction de / définie dans l'intervalle (9, 9') par les conditions suivantes : elle vérifie les équations (i); elle est continue ; elle s'annule pour / = 9. La fonction [9, Z]A n'est définie que pour les valeurs de t qui sont suffisamment voisines de 9 ; afin d'atteindre des valeurs qui s'en éloignent, je supposerai qu'on intercale dans l'intervalle (/0, ti une suite de nombres croissants 0i, 9-2,..., 9r assez rapprochés pour que, si l'on considère l'un quelconque des intervalles partiels (t0, di) (Qi, 9.2),... (9r, tt), l'intervalle (9n, 9n+l ), par exemple, la distance des points t et 9n du lien soit sûrement moindre que â \/z pourvu que la valeur de t appartienne à l'intervalle [9n, 9n+1] ; je suppose enfin que 9 soit l'un des nombres de la suite t0, 9t, 9i,..., U, le nombre 9n par exemple. Si t appartient à l'intervalle (9P, Gp+1), on définira l'angle w par l'une ou l'autre des deux formules

« = [K, 6„+i]A 4- [8n+1, 6,i+2]A + ... + [0,, t]x, a) = [6B, 0„iJA + [e„lf 6„2J.A + ... + [0^+i, t]A

suivant que p est plus grand ou plus petit que n.

La fonction de t ainsi définie satisfait aux équations (i) ainsi qu'il résulte du n° 278 ; elle est continue pour chaque valeur de t appartenant à l'intervalle (/0, /i) et par conséquence dans tout cet intervalle; le même raisonnement qu'on a utilisé tout à l'heure montre qu'elle est la seule à satisfaire à ces conditions, je la désignerai en général par la même notation [9, t]x qui a servi tout d'abord dans le cas où l était suffisamment voisin de 9 : je la désignerai encore comme étant l'angle (AP, A.M défini au moyen du lien (T). La seule partie du lien qui serve dans celle définition est celle qui va du point 9 au point /.

Si le lecteur veut se reporter à ce que l'on a dit à la lin du