CHAPITRE IX. LANGAGE GÉOMÉTRIQUE l8j

l'ensemble des points communs aux deux continuums qui peuvent être reliés à A par un lien intérieur à la fois à C et à C) forme un continuum ; soit (G) ce continuum. Il peut d'ailleurs arriver que l'ensemble des points communs à C et à (C'} forme plusieurs continuums séparés.

Supposons qu'un point B de (C) n'appartienne pas à (G); ce point, puisqu'il appartient à (C) comme A, peut être relié à A par un lien intérieur à (C); ce lien ne peut être aussi intérieur à (C puisque B n'appartient pas à (G) : il contient des points qui n'appartiennent pas à (C) et le point A qui appartient à (C); il contient donc un point de (F') ; il y a au moins un point de (F') qui appartient à (C).

Si donc le continuum (C) ne contient aucun point de la frontière du continuum (C), il est contenu tout entier dans ce continuum (C) ou lui est tout entier extérieur. On sera sûrement dans le premier cas, si les deux continuums ont un point commun.

Remarquons en passant que si les continuums (G), (C) sont tels que chacun d'eux ne contienne aucun point de la frontière de l'autre, ils sont certainement extérieurs l'un à l'autre, à moins qu'ils ne soient confondus.

En supposant toujours que le point A appartienne à la fois aux deux continuums (C), (C), considérons maintenant l'ensemble (C) des points qui appartiennent soit à (C), soit à (C) ; cet ensemble (G") constitue un continuum; en effet, la condition i° est évidemment vérifiée pour tous les points de (C") ; il en est de même de la condition 2°, puisque deux points de (C") peuvent être reliés à A par des liens intérieurs soit à (C), soit à (C); ces deux points peuvent donc être reliés entre eux par un lien dont tous les points appartiennent à G").

301. — Si les deux continuums (G), KG) n'ont pas de point commun, mais s'ils ont une partie de frontière commune, on peut encore, sous certaines conditions, en déduire un continuum formé de tous les points appartenant soit à (C), soit à (C), soit à la frontière commune, à l'exception de deux de ces derniers points.

Les conditions que je supposerai vérifiées par la partie commune de la frontière, sont les suivantes :

i° Cette partie commune peut être regardée comme un lien (T) défini par les formules

X = ce (/), y = (!»(*), a < / < (3.

Je désignerai par (T') l'ensemble des points du lien (T) autres que son origine A et son extrémité B, lesquelles correspondent aux valeurs a, fi de t.

2° Chaque point P de (T') peut être regardé comme centre d'un cercle (P) tel que tous les points qui lui appartiennent appartiennent soit à (C), soit à (C), soit à (T'). Puisque P est à la fois sur la frontière de (C) et de (C), tout cercle ayant pour centre le point P contient des points de (C), des points de C), des points de (T') ; l'hypothèse est qu'il n'en contient pas d'autres à son intérieur, ou sur sa circonférence, pourvu que son rayon soit suffi samment petit; en particulier il ne doit pas, en dehors des points de l'ensemble (T'), contenir de points frontières de (C), ou de (C), pas même les points A, B qui, par suite, ne doivent correspondre à aucune valeur de /, intérieure à l'intervalle (a, |3).

D'ailleurs, en dehors de (T), les frontières de (C) et de (C'y peuvent avoir des points communs, ou des parties communes, dont je ne m'occupe point.

Je vais montrer que, dans ces conditions, l'ensemble (E) des points qui appartiennent soit à (C), soit à (C), soit à (T7) constitue un continuum ; je dirai que ce continuum est obtenu on supprimant la frontière commune.

Tous les points qui appartiennent au cercle (P) appartiennent à l'ensemble (E) qu'on vient de définir. Que tous les points de l'ensemble (E, vérifient la condition i° du n° 298, c'est ce qui est évident. D'un autre côté, le cercle P, contient des points de (C) et de (C), qui peuvent être reliés l'un à n'importe quel point de (C), l'autre à n'importe quel point de (C) par des liens intérieurs à (C) ou à (C), qui, enfin, peuvent être reliés à P par des vecteurs intérieurs à (P) ; deux points de (C) ou de (C), un de ces points et un point de (T' - peuvent donc être reliés par un lien dont tous les points appartiennent à (E) : (E) est un continuum.

Un point K de la frontière de (G), ou de (C), qui n'appartient pas à (T7) est un point frontière de E ; car tout cercle décrit de K