Revenons maintenant aux fonctions intégrables

On a démontré au n° 242 que, pour que la fonction bornée f(x) soit inlégrable dans l'intervalle (a0j ci), il faut et il suffit qu'on puisse, à chaque nombre positif s, faire correspondre une décomposition (aojttj, ..., a„lf ci) de l'intervalle (a0, ci), telle que l'on ait

(al—a0) (Mi— m4) + (a2— ax) (M2— ;h2) -k . . + (a — aM 4) (M„ — m„)<s,

en désignant par Mt, m^ par M2, m2, ..., par M,„ mn les bornes supérieures et inférieures de la fonction f(x) dans les intervalles partiels (a0, ai), (alfaâ), ..., (an l5 a).

Cette condition montre tout d'abord que, si la fonction f(x) est intégra ble dans l'intervalle (a0, ci), elle est intégrable dans tout intervalle contenu dans l'intervalle (a0, a). De même, si une fonction f(x) est intégrable clans les deux intervalles contigus (a, b), (b, c) elle est intégrable dans l'intervalle a, c).