CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

comme centre contient le point K, qui n'appartient pas à (E), et contient clés points de (E). Un point quelconque de (T') appartient à (E) ; un point extérieur à (G) et à (C) est le centre d'un cercle tel qu'aucun des points qui lui appartienne n'appartienne ni à (G), ni à (G'); il ne peut appartenir à la frontière de (E qui, ainsi, est formée de l'ensemble des points qui appartiennent à la frontière de (C), ou à la frontière de C'), sans appartenir à T'). Les points A et B appartiennent à cette frontière de E .

Plaçons-nous maintenant dans le cas où les deux continuums (G) et (G') satisfaisant toujours aux conditions qui précèdent, sont bornés, et où leurs frontières F), (F') sont constituées chacune par un lien fermé : ces liens seront définis par des formules telles que

Je suppose enfin que le lien (T) qui. par hypothèse, fait partie de (F) et de (F') ne contienne pas les points dont les coordonnées s'obtiennent en remplaçant u par u0 ou par a{ dans /(m) et dans g(u) et t par t0 ou par t{ dans <p(/) et ^(t). C'est là d'ailleurs une supposition qui n'a rien d'essentiel et qu'on peut toujours réaliser par un changement de variable. Ce lien pourra alors être défini par des formules telles que

x = ?(*), y = 'KO, a ^ < ^ P. (>o < a < p < g, ou

35 =/(")> y — S' (»)i t^"^°, («0<ï <s < Bi)>

en supposant que chacun de ces systèmes de formules fournisse le même ensemble de points, et que l'on ait, en particulier

?(a)=^/(ï)> <Ka)=0(Y).

<?(P)=/(8)> *(P) = SF(«).

D'après ce que l'on a dit plus haut, la frontière de l'ensemble (E), obtenu par la suppression du lien (T), est le lien fermé constitué par les parties de (F') qui correspondent aux valeurs de t

qui appartiennent aux intervalles (t0, 0.}, (jS, /, ) et les portions de (F) qui correspondent aux valeurs de u qui appartiennent aux intervalles (u0, y), fâ,ut). En vertu des formules précédentes, ces quatre liens partiels se raccordent pour former un lien fermé, lequel sera évidemment simple si les frontières (F ), (F') sont ellesmêmes des liens simples et si elles n'ont pas de points communs en dehors de l'ensemble (T).

Les propositions qu'on vient d'établir permettent de constituer des continuums assez compliqués en juxtaposant des continuums simples, des triangles, des rectangles, des trapèzes... ; la frontière d'un continuum ainsi formé, peut d'ailleurs se composer de plusieurs liens séparés. Le cas particulier qu'on vient d'examiner montre comment, en procédant ainsi, on peut s'arranger pour que les continuums successifs que l'on forme aient toujours pour frontière un lien fermé, et même un lien fermé simple. Les continuums de cette nature ont un rôle important dans la théorie de certaines fonctions.

302. — Soit (C) un continuum et (F sa frontière; on peut concevoir qu'une fonction © soit déterminée ou définie pour chaque point appartenant à ce continuum; on peut dire alors que la fonction est déterminée ou définie dans le continuum. Une fonction définie dans le continuum (G) est définie aux environs de chaque point de ce continuum, c'est-à-dire dans un cercle de rayon suffisamment petit décrit autour de ce point comme centre : il est donc permis de parler d'une fonction définie et continue en chaque point d'un continuum (C) ; on dira, si l'on veut, qu'elle est définie et continue clans le continuum (C); mais on ne peut affirmer d'une telle fonction qu'elle est uniformément continue dans le continuum, parce que ce continuum n'est pas un ensemble clos. Il est d'ailleurs bien aisé de voir que la différence entre deux valeurs d'une fonction continue pour deux points d'un continuum peut rester supérieure, en valeur absolue, à un nombre fixe, lors même que les deux points auxquels correspondent ces deux valeurs sont très voisins, si ces deux points sont très voisins de la frontière. Voici un exemple simple.

Considérons, comme à la fin du n° 278, un point fixe 0 el une demi-droite fixe (A) partant de ce point; soit (C1 le continuum