CHAPITRE IX. — LANGAGE G EUH ETRIQUE I Q I

obtenu en supprimant du plan les points qui appartiennent à la demi-droite A , laquelle est évidemment la frontière de (G). Soit maintenant (D) une autre demi-droite fixe partant encore du point 0, mais distincte de (A ; soit enfin a le plus petit angle positif dont il faut faire tourner une demi-droite autour du point 0 (dans le sens direct pour l'amener de (D) sur (A).

Si l'on considère un point quelconque M du continuurn, on a défini l'angle dont il faut faire tourner une demi-droite, autour de 0, pour l'amener de (D) sur OM, sans passer par A ; cet angle est compris entre a et — 2it + œ; on voit tout de suite que c'est une fonction continue de M. en chaque point du continuum. Si Ml5 M2, sont deux points situés très près de A), l'un à droite, l'autre à gauche, l'angle considéré, en M,, sera très voisin de a: il sera très voisin de — 2 7î H- a en M2 ; la différence entre les deux angles est très voisine de 2 7t. Si, au contraire, les deux points Mn M.2 étaient très voisins de (A), mais du même côté de (A), les deux angles seraient très voisins l'un de l'autre.

On retrouve ici la notion de coupure, introduite au n° 276: considérons la demi-droite A comme double ; l'une des deux demidroites, dont je dirai qu'elle est à gauche, étant regardée comme voisine des points situés à gauche de (A) et à une petite distance, l'autre dont je dirai qu'elle à droite, étant regardée comme voisine des points situés à droite de (A) et à une petite distance. Dans cet ordre d'idée, deux points situés près de A ne doivent être regardés comme voisins que s'ils sont d'un même côté de (A).

Avec cette convention, la fonction du point M dont il a été question plus haut, l'angle de (D) et de OM, peut être défini dans tout le plan, sauf au point 0 ; mais, si le point M est sur (A) on devra dire s'il se trouve sur le bord gauche ou sur le bord droit de la frontière : en deux points, confondus en réalité, mais qu'on regarde comme étant l'un sur le bord gauche, l'autre sur le bord droit, les valeurs de la fonction diffèrent de i~.

Une fonction d'un point variable (ou de ses coordonnées) continue pour tous les points d'un continuum, est uniformément continue dans tout ensemble clos contenu dans ce continuum (n° 284\

Soit (G) un continuum borné et (F) sa frontière. L'ensemble (C) -h (F) des points qui appartiennent soit au continuum, soit à

sa frontière est un ensemble parfait. Une fonction continue pour tous les points de cet ensemble sera uniformément continue dans cet ensemble.

Reprenons les notations employées clans le numéro précédent pour deux continuums bornés (C), (C) qui n'ont pas de point commun, dont les frontières respectives (F), (F') sont des liens fermés et admettent une partie commune, constituée par un lien (T) dont l'origine et l'extrémité sont les points A et B, et qui satisfait aux conditions que l'on a précisées. (T') désigne toujours l'ensemble des points de (T) autres que A, B; (E) est le continuum qui résulte de la juxtaposition des deux continuums (C), (C) et de la suppression de la frontière commune (T'). Désignons enfin par (F,) la frontière de (E), frontière qui se compose des points de (F) et de (F') qui n'appartiennent pas à (T'), et par (Ej l'ensemble parfait (E) -+- (Fj).

Soient ©, ©' des fonctions continues, l'une dans l'ensemble (C) + (F), l'autre dans l'ensemble (C) -h (F'), et supposons que l'on ait © = ©' pour n'importe quel point de (T). Il est clair que la fonction d/ définie comme étant égale à © dans (C), à ©' dans (C), à © ou à ©' pour les différents points de (T') sera continue en tout point de (E).

Si les frontières (F), (F') n'ont pas de points communs en dehors de (T), il est clair que le même procédé permet de construire une fonction continue dans (E,), égale à © pour tous les points de (C) -t- (F), à ©' pour tous les poin+s de (C) -+- (F') ; mais il n'en sera plus de même si les frontières (F), (F') ont des points communs en dehors de (T), car on n'a pas supposé qu'en un tel point les deux fonctions © et ©' fussent égales.

On est alors amené à dédoubler en quelque sorte des points de (F,) qui proviendraient d'un point commun à (F) et à (F') et n'appartenant pas à (T) ; on convient de garder le souvenir de la provenance de pareils points, que l'on regarde comme séparés si l'un provenait de (F), et l'autre de (F'). La frontière (F,) de (E) est ainsi remplacée par un autre ensemble (F2) dans lequel un même point, un même lien partiel, peuvent figurer deux fois; je le répète, ce point, ce lien partiel ne sont pas regardés comme les mêmes suivant qu'ils proviennent de (F) ou de (Fi). Dans le cas où (F) et (F ) sont des liens fermés simples, on peut, en