CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE IÇ

vertu de la même fiction, regarder encore (F2) comme un lien fermé simple, dans lequel des valeurs différentes du paramètre fournissent des points qui, à la vérité coïncident, mais qui sont essentiellement distincts, d'après leur provenance. Si P et P' sont ainsi deux points coïncidants provenant l'un de (F), l'autre de (F'), le premier est regardé comme voisin des points de (C) qui sont à une petite distance de lui, mais non des points de (C) que l'on ne pourrait atteindre, sans s'éloigner de P, en suivant un lien continu intérieur à (E). De même, P' est regardé comme voisin des points de (C) qui sont à une petite distance de lui, mais non des points de (G). De même qu'on a remplacé la frontière (F,) par la frontière (F2), on remplace l'ensemble (EJ = (E) -f- (Fj), par l'ensemble (E2) = (E) -b (F2), lequel contient alors sur sa frontière des points qui coïncident et que l'on regarde comme distincts, qui ne sont spécifiés que, lorsque, après avoir donné leurs coordonnées, on dit s'ils proviennent de (F) ou de (F').

Sans que j'insiste davantage, le lecteur voit s'étendre la notion de coupure et se rend compte du sens dans lequel il est permis de dire qu'une fonction est uniformément continue dans (E2). Les parties communes à (F) et à (F'), en dehors de (T), constituent des coupures, dont un bord provient de (F), un autre bord de (F'); près d'une coupure, les points voisins d'un même bord proviennent, soit du continuum (G), soit du continuum (C) et ce n'est que pour les points voisins d'un même bord que les valeurs de la fonction diffèrent très peu.

Prenons encore pour exemple l'angle qu'une demi-droite fixe(D), partant d'un point fixe 0, fait avec la demi-droite qui va de ce point 0 à un point variable M. Je suppose essentiellement que le point O est extérieur aux continuums (C) et (C).

Supposons qu'on puisse mener, à partir de 0, une demi-droite (A) extérieure au continuum (G) et distincte de (D 1 ; on peut alors définir, pour tout point M appartenant à l'ensemble (G) H- (F), l'angle de (D) et de OM, par le procédé qu'on a expliqué à lafm du n° 278; cet angle est une fonction continue du point M dans l'ensemble parfait (C -t- (F) ; il en sera de même si on lui ajoute un multiple quelconque de 2 7t; si donc M0 est un point fixe quelconque de (G) H- (F) et si l'on choisit arbitrairement l'une des valeurs <p0 de l'angle dont les deux côtés sont (0) et OM0, on

Tanneby II. — Inlroiluc.lion à la Théorie îles fonctions 13

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pourra définir une fonction y de M, continue dans l'ensemble parfait (C) -h (F), qui prendra la valeur ©0 quand M sera en M0, et qui sera toujours égale à la mesure de l'un des angles dont les côtés sont (D) et OM. Il n'y a d'ailleurs qu'une fonction qui jouisse de cette propriété.

Supposons maintenant qu'on puisse mener une demi-droite (à'\ distincte de (D) et extérieure à (C) ; on pourra encore définir, pour tout point M de (C) H- (F'j, l'angle de (D) et de OM, comme une fonction continue de M. Lorsque M appartient à (T), les deux angles définis, l'un dans (G) H- (F), l'autre dans (C) -h (F'j ne peuvent différer que d'un multiple de -m, lequel, à cause de la continuité, reste évidemment le même tout le long- de (T) ; en modifiant le second angle de ce multiple de 211, les deux angles seront égaux tout le long- de (T), en sorte que l'angle de (D) et de OM pourra être défini comme une fonction continue de M dans tout l'ensemble (E2) — (E) -+- (F2), à la condition de regarder au besoin la frontière F>) comme comportant des bords séparés. Cette fonction est définie sans ambiguïté par la condition qu'on lui a imposée, d'être égale à ©0 quand le point M coïncide avec M0. Il est clair qu'on pourrait continuer ainsi en considérant un troisième continuum (C") qui aurait une partie de frontière commune avec (E,), etc..

On peut former ainsi, par adjonctions successives, un continuum très compliqué, auquel le point 0 doit toujours être extérieur, ayant toujours pour frontière un lien fermé simple, ou même un de ces liens fermés à bords distincts que l'on ne peut qualifier de simples que par fiction. L'angle de (D) et de OM se définira comme une fonction continue clans l'ensemble parfait obtenu en adjoignant la frontière au continuum, fonction qui, en un point M0, se réduira à l'une des valeurs arbitrairement choisie de l'angle dont les côtés sont (D) et OMn. En particulier, si l'on fait coïncider (D) et OM„, , on pourra définir l'angle (M0, M) de OM0 et de OM comme une fonction continue de M dans l'ensemble parfait, fonction qui s'annule quand M coïncide avec M0.

On verra, à la fin du présent chapitre qu'une telle définition est toujours applicable à l'ensemble parfait (C ; -h (F) pourvu que le point 0 n'appartienne pas à cet ensemble, que le continuum (G) soit borné et que sa frontière (F) soit un lien fermé simple, soumis à certaines conditions.