CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

Si l'on suppose les deux points M0, M reliés par un lien dont tous les points soient intérieurs au continuum, sauf peut-être les extrémités M0, M qui peuvent appartenir à la frontière, l'angle (M0, M tel qu'on vient de le définir, n'est autre chose que l'angle de OMy et de OM défini au moyen du lien (n° 292) : cet angle ne dépend pas du lien, tant que ce lien reste assujetti aux conditions qu'on vient de préciser. L'ordre du point 0 par rapport à un lien fermé quelconque intérieur au continuum est nul. Si M0, Ml5 M2 sont trois points appartenant au continuum, on aura

(M0, M2) = (M0, MJ + (M15 M2).

En effet les deux membres qui sont, dans tout le continuum, des fonctions continues des points Mo, Mx, M2, ne peuvent différer que d'un multiple de i~, qui est nul quand M2 coïncide avec Mx.

303. — Soit T un lien et soit à un nombre positif; je désignerai sous le nom de voisinage V($ du lien (T l'ensemble des points tels que chacun soit intérieur à quelque cercle de rayon & dont le centre est un point de T.

Cet ensemble est un continuum. Considérons, en effet, un point A satisfaisant à la condition précédente, c'est-à-dire intérieur à un cercle (a) de rayon r) et dont le centre a est situé sur (T) : Tout point appartenant à un cercle de centre A et intérieur au cercle (a) est intérieur à ce dernier cercle ; la condition i° du n° 298 est vérifiée. Remarquons, en passant, que le point A est à une distance de (T) inférieure à o\ Soit maintenant B un autre point de \ â , et soit b le centre, situé sur (T), du cercle de rayon r) auquel B est intérieur; on peut aller de A à B, par le lien formé en allant de A à a en ligne droite, de a à b sur T , de b à B en ligne droite; tous les points du lien ainsi formé appartiennent à Y '/} )•; la condition 2° est vérifiée.

Soit P un point quelconque, ov sa distance à (T) el p un point de (T) qui soit à une distance de P égale à â'. Si P est intérieur àV(cT), on a, d'après une observation antérieure, &' <Cot. Réciproquement si l'on a â1 <C o\ le point P est intérieur à Y Qv puisqu'il est intérieur à un cercle décrit de p comme centre avec un rayon compris entre ov et r}. Si donc P n'appartient pas à ^ (iï)9

onad*'^(^ : si l'on a &' = d\ tout point, autre que PJ9 du vecteur qui va de P à p appartient à Y(â) ; il y a des points de V(ov) aussi voisins que l'on veut du point P, lequel n'appartient pas à V(c?) : P est alors un point frontière de "V (&); si l'on a â' > <^, il ne peut y avoir, dans un cercle décrit de P comme centre et de rayon moindre que â' — â, de point dont la distance à (T) soit inférieure à â : P est extérieur à V [&).

Suivant que â' est inférieur, égal, ou supérieur à cMe point P est intérieur à V(e?), sur la frontière de V(^), extérieur à V(e^).

Il est clair que si l'on a &' >> à, l'ensemble V(<^') contient l'ensemble V(^) et sa frontière. Les frontières des continuums Y(^), V(^') n'ont aucun point commun.

Il est à peine inutile de dire qu'on aurait pu définir un continuum jouissant de propriétés analogues à celle du voisinage V(dv) en considérant des distances réduites au lieu des distances vraies.

304. — Considérons un continuum (C; et sa frontière (F). Soit M ou (x, y) un point qui ne soit pas situé sur la frontière; si on décrit du point M comme centre un cercle dont le rayon soit égal à la distance du point M à la frontière, ce cercle ne convient à son intérieur que des points intérieurs, ou des points extérieurs, au continuum, suivant que M est intérieur, ou extérieur, au continuum; sa circonférence contient au moins un point de la frontière; . ces propriétés caractérisent évidemment les cercles dont le rayon est égal à la distance du centre à la frontière du continuum.

Soient M0 et M,, ou (x0, Jo) et >x{, y, , deux points intérieurs au continuum : supposons -les reliés par un lien (T), intérieur à (G), défini par les formules

*o = <p(i0). 7o = M'o). *, = ?('i). Ji = MO ;

soit r} un nombre positif plus petit que la distance du lien (T) à la frontière (F) du continuum; considérons le voisinage V (â) du lien T;, il est clair que ce continuum sera contenu clans C .

On peut relier le point M0 au point Mj par une ligne brisée, donc tous les points appartiennent à Y ^ et, par conséquent à (C). Il suffit d'intercaler entre /0, /, des nombres croissants