CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE I

t', t", t'", ... tels que les distances de deux points consécutifs du lien (T) qui correspondent aux nombres t0, t' , l", ..., /, soient moindres que â. Si l'on décrit de ces points comme centres des cercles de rayon â, chacun de ces cercles contiendra le centre du cercle suivant; tous les poiuts qui appartiennent à Ja ligne brisée dont les éléments joignent les centres consécutifs appartiennent évidemment à V (â) .

On peut, d'ailleurs, s'arranger pour que la ligne brisée qui va du point (cc0, y0) au point xlt jj ne se croise pas elle-même : en effet, supposons d'abord que la ligne brisée soit construite comme on l'a expliqué et que l'on donne les numéros i, 2, ...,p, ..., q, ..., r aux vecteurs successifs qui la composent : soit p le numéro du premier vecteur qui croise un vecteur ultérieur, le cfèmô par exemple [q >/j+ 1) : on limitera le pièmG vecteur au point de croisement, et l'on continuera par un vecteur situé sur le qlème, en prenant le point de croisement pour origine : on aura supprimé, de la ligne brisée, la portion fermée qui ramenait au point de croisement. En continuant de la même façon, on parviendra évidemment, au bout d'un nombre fini de suppressions, à une ligne brisée joignant les deux points (x0, y0) et (xit y/) qui ne se croise pas elle-même.

305. — Le lecteur reconnaîtra sans peine comment est constitué le voisinage d'un segment de droite, d'un cercle, d'un arc de cercle, et quelle en est la frontière. Je me bornerai à quelques indications qu'il complétera aisément sur le voisinage Y (â) d'une ligne brisée simple, ouverte ou fermée, que je désignerai par [L), en supposant que 2a soit moindre que la distance de deux côtés non consécutifs de (L). Je supposerai la ligne L) parcourue dans un sens déterminé, de façon a pouvoir parler de la droite et de la gauche des vecteurs qui la composent et même de ses angles (n° 277), le premier côté de chaque angle étant décrit en se rapprochant du sommet, le second en s'en éloignant.

La frontière de Y (â) est composée de vecteurs parallèles aux côtés correspondants de (L) et d'arcs de cercles ayant pour centres respectifs les sommets de (L.) ; elle constitue un ou deux liens simples et fermés, suivant que la ligne (L) est ouverte ou fermée.

Dans le premier cas, si on supprime de la frontière les deux demi-cercles qui correspondent à l'origine et à l'extrémité de (L),

il reste deux liens simples ouverts dont on peut dire que l'un est à droite et l'autre à gauche de L , parce que les éléments qui constituent le premier lien, par exemple, sont à droite des angles correspondants de (L).

Dans le second cas, on peut dire aussi, avec la même signification, que les deux liens fermés qui composent la frontière de ¥($) sont l'un à droite, l'autre à gauche de la ligne polygonale (L) : je les désignerai comme étant la frontière de droite et la frontière de gauche. La ligne (L), qui fait partie deV(cT), décompose ce continuum en deux continuums, dont le premier, qui peut être qualifié de voisinage de droite, a pour frontière la frontière de droite et (L), dont le second, qui peut être qualifié de voisinage de gauche a pour frontière la frontière de gauche et (L). Chacun d'eux est constitué, conformément aux explications données au n° 301 en juxtaposant une suite de trapèzes et de secteurs circulaires dont on supprime les côtés communs. Chaque trapèze a pour côtés parallèles un côté de (L) et le côté correspondant de la frontière de droite ou de gauche. Les secteurs circulaires correspondent aux arcs de cercle des frontières. Deux de ces éléments, trapèzes ou secteurs, n'empiètent jamais l'un sur l'autre.

On reconnaît sans peine que, d'un point quelconque non situé sur (L), on peut mener un vecteur qui n'ait aucun point commun avec (L) et qui aboutisse a un point de la frontière de V(t?).

La ligne (L), suivant qu'elle est ouverte ou fermée, se comporte d'une façon très différente par rapport à l'ensemble des points du plan.

Dans le premier cas, on peut relier deux points quelconques du plan, non situés sur (L), par un lien qui ne contienne aucun point de (L) : il suffira en effet d'aller de chacun de ces points à la frontière cle Y(c?) sans toucher L ; la frontière elle-même relie les deux points auxquels on aboutit sur elle.

En d'autres termes, l'ensemble des points du plan qui n'appartiennent pas à une ligne brisée simple et ouverte constitue un continuum dont cette ligne brisée est la frontière.

Dans le second cas, où la ligne brisée (L) est fermée, un point quelconque non situé sur L) peut être relié par un vecteur qui ne contient aucun point de (L), soit à la frontière de droite Y [d . soit à la frontière de gauche. Il est clair que tous les points qui