CHAP1TUE IX. LANGAGE GEOMETRIQCE

peuvent être reliés ainsi à une même frontière constituent dans leur ensemble un continuum. Les points du plan qui n'appartiennent pas à (L) constituent donc au plus deux continuums ; qu'il y en ait deux dislincts, c'est ce qui résulte clairement du n° 295. L'un de ces continuums contient les points du plan situés à une distance très grande de la ligne fermée : il lui est extérieur. En traversant la ligne brisée on entre dans le continuum intérieur. Quand on se place au point de vue géométrique, on est tenté de regarder comme intuitives les deux propositions dont on vient d'esquisser une démonstration, qu'il serait très aisé de présenter en employant un langage purement numérique. La facilité de cette démonstration tient à la facilité avec laquelle on reconnaît la nature du voisinage V(t^) d'une ligne brisée simple, et de sa frontière, pour & suffisamment petit. Le lecteur ne peut manquer d'apercevoir l'extension des propriétés précédentes à des liens formés d'arcs de courbe suffisamment simples.

306. — M. Jordan a démontré, d'nn façon générale, que tout lien fermé simple (T), partageait de même le plan en deux continuums distincts, l'un extérieur à (T), l'autre intérieur. Je me contenterai de montrer, en adoptant la voie suivie par M. Ames '), que cette proposition est vraie quand le lien fermé simple peut être décomposé en un nombre fini de liens partiels dont chacun est défini par des formules telles que

y=f(x), Xo^x^gXi

OU

x = y(y), Jo^J^Ji'

f(x) et <p(y) désignant des fonctions continues dans les intervalles considérés.

Considérons un point M appartenant à l'un des liens partiels et qui n'en soit ni l'origine ni l'extrémité ; on pourra mener par ce point un vecteur (parallèle à l'un ou l'autre des axes; qui traverse ce lien partiel; il n'aura pas, avec celui-ci, d'autre point commun que le point M; s'il est assez petite plus petit par exemple que la

(') Voir la note du n° 295.

distance du point M aux autres liens partiels, il n'aura aucun point commun avec ces liens partiels ; il n'aura pas d'autre point commun avec le lien fermé (T) que le point M. Ce lien (T) jouit donc (n° 2S6) de la propriété suivante : aux environs de chaque point du lien fermé, il y a des points dont les ordres, relatifs à ce lien, diffèrent d'une unité. Comme tous les points qu'on peut relier à un point fixe sans rencontrer le lien fermé constituent un continuum, on voit que ce lien sépare le plan en deux continuums, au moins.

Soit (C) un continuum. Considérons le lien (X), défini parles formules

y=f(x), x0<^x<^xy;

je désignerai par K0 et Ki l'origine et l'extrémité de ce lien; les abscisses des points K0 et Kt sont respectivement x0 et Xi. Je suppose que ce lien appartienne tout entier au continuum (C), sauf peut-être les points Ko, Ki qui peuvent appartenir à la frontière de (G). On va montrer que l'ensemble (C) des points qui appartiennent à (C) sans appartenir à (X) constitue au plus deux continuums et que (C) constitue un seul continuum lorsque Ko et Kx ne sont pas tous les deux sur la frontière de (C).

L'ensemble (C'y satisfait évidemment à la première des conditions du n° 298, imposées à tout continuum :

Je dirai d'un point A de (C) qu'il est au-dessus ou au-dessous de (X) s'il satisfait aux d?ux conditions suivantes :

i° Son abscisse a appartient à l'intervalle (xq, £Ci) ; elle est toutefois différente de x0 si K0 appartient à la frontière de C, de x, si Kj appartient à cette frontière.

2° Tous les points du vecteur dont l'origine est le point [a,f a ] et dont l'extrémité est A appartiennent à (C).

Dans ces conditions, A est au-dessus ou au-dessous de (X) suivant que son ordonnée est plus grande ou plus petite que /(a).

Lorsque tous les points de (X) appartiennent à (C), il y a des points au-dessus et au-dessous de (X), dont l'abscisse est n'importe quel nombre appartenant à l'intervalle (xo, %i).

Deux points A, A' de (C) situés tous deux au-dessus de (X), ou tous deux au-dessous, peuvent être reliés par un lien intérieur à (C) et ne rencontrant pas \ .