CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

Soient en effet a et a' [a! > a) les abscisses des points A, A' que je supposerai au-dessus de (X). Soient À,, AJ les points de (X) dont les abscisses sont a et a'. Choissons le nombre positif a plus petit que la distance à la frontière de (C) du lien défini par les formules

y=ftx), a < x < a',

lien qui, par hypothèse, appartient tout entier à (C), et dont l'origine et l'extrémité sont les points At, A[. On est certain qu'aucun point du lien (L) défini par les formules

n'appartient à la frontière de (G) ; d'ailleurs le lien (L) n'a évidemment aucun point commun avec X ; soient A2 et A'2 son origine et son extrémité. D'après la façon dont on a choisi a, il ne peut y avoir aucun point de la frontière sur le vecteur AtA2, non plus que sur le vecteur AjA2'; ces vecteurs sont intérieurs à (C) ; il en est de même par hypothèse, des vecteurs AtA, A(A' et, par conséquent, des vecteurs A2A, A2'A' : on peut aller, sans atteindre la frontière, de A à A2 par le vecteur AA2, de A2 à A2 par le lien (L), de Ai à A' par le vecteur A2' A' ; on est parti

d'un point de (C), on est resté dans (G . D'ailleurs le chemin décrit n'a manifestement aucun point commun à (X).

Examinons le cas où l'extrémité Kt de (X) n'est pas sur la frontière de (C). Si de ce point Kx comme centre, avec un rayon inférieur à la distance de Ki à cette frontière, on décrit un cercle, tous les points qui appartiennent à ce cercle appartiendront évidemment à (G) ; la parallèle à l'axe des y menée par son centre partage le cercle en deux demi-cercles et le rencontre en deux points Kj, K" situés, l'un au-dessous de (X), l'autre au-dessus; le premier K,' peut être relié, par un lien intérieur à (C) et n'atteignant pas (X), à n'importe quel point de (C) situé au-dessous

Fia', n.

de (X ; de même Kj'. à tout point situé au-dessus. Le demicercle situé à droite du diamètre K^ K'" relie d'ailleurs K,' à K['. Donc, dans ce cas, deux points de (G), situés l'un au-dessus de (X), l'autre au-dessous, peuvent être reliés par un lien intérieur à (Ci) et n'atteignant pas (X). Il est clair aussi que tout point (autre que Ki) situé à l'intérieur du demi-cercle de droite, sur ce demicercle, ou son diamètre, peut être relié de même aux points de (G) situés au-dessus ou au-dessous de (X . Des conclusions toutes pareilles concerneraient le cas où K0 n'appartiendrait pas à la frontière de (C).

Reprenons le cas général. (X) est intérieur à (C), sauf peut-être les points extrêmes K0, Kj qui peuvent être sur la frontière.

Soient A, B deux points fixes, arbitrairement choisis dans (C), l'un au-dessus de (X), l'autre au-dessous. Soit P un point quelconque de (C), non situé sur (X) ; je dis qu'il peut être relié à l'un des points A, B par un lien intérieur à (G), qui n'atteigne pas (X),

Puisque P et A appartiennent au contînuum (C), il y a un lien (T), intérieur à (C), défini par des formules telles que

qui relie P à A; je suppose que le point P est l'origine du lien et correspond ainsi à la valeur /0 du paramètre.

Si (T) n'a pas de point commun avec (X), la proposition est vérifiée. Supposons que (T) atteigne (X) ; il peut l'atteindre une infinité de fois, mais un raisonnement qui a été souvent employé, prouve l'existence d'un nombre m appartenant à l'intervalle (70, /, I, qui est la plus petite valeur de t pour laquelle on obtienne un point M de (T) qui soit sur X1. Le lien partiel (T') défini par les formules

est intérieur à C et n'a pas d'autre point sur (X que son extrémité M. L'abscisse p. de If appartient à l'intervalle '.Co, .<-, : d'ailleurs, puisque M appartient à C , y. ne peut être égal à x0 que si Ki, n'est pas sur la frontière de C\ fi ne peut être égal à Xi que si Kt n'est pas sur la même frontière.