CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

2oS

Supposons d'abord x0 < p. < xi . Décrivons un cercle du point M comme centre, avec un rayon inférieur à xv — [X, à u. — Xo et à la distance de M à la frontière de C) ; tous les points intérieurs à es cercle et non situés sur (X) sont au-dessus, ou au-dessous, de (X) ; il en est ainsi pour n'importe quel point M' de (T), autre que M, et situé à l'intérieur du cercle ; on peut aller de P à M' puis de M' à A ou à B, suivant que M' est au-dessus ou au-dessous de X), par un lien intérieur à (C) et n'atteignant pas (X).

Fig.

Fis. i3.

Supposons que l'on ait [x = x± ; le raisonnement serait le même si l'on avait ul =x0. Le point M coïncide avec Ki ; je rappelle qu'il n'est pas sur la frontière ; on prendra alors le point M' du lien (T') arbitrairement dans le cercle décrit de Ri comme centre avec un rayon moindre que X\ — x0 et que la distance de Kj à la frontière de (C) ; ce cercle est divisé en deux par la droite x = Xy. Si M' est dans le demi-cercle de gauche, il sera forcément au-dessus de (X) ou au-dessous et le raisonnement précédent s'appliquera. Si M' est sur le demi-cercle de droite ou sur le diamètre x = Xi, on pourra le rejoindre tant au point A qu'au point B, sans sortir de (C) et sans rencontrer (Xi.

En résumé, l'ensemble des points P intérieurs à (C) et non situés sur (X) constitue au plus deux continuums dont l'un est l'ensemble du point A et de tous les points de (C) qui peuvent être reliés à A sans sortir de (C) et sans atteindre (X), dont l'autre est l'ensemble du point B et de tous les points de (C) qui peuvent être reliés à B sans sortir de (C) et sans atteindre (X). Ces deux ensembles peuvent ne pas être distincts et ne former qu'un continuum ; il en sera ainsi quand l'un des points K0, Ki n'est pas sur la frontière de (G).

Il en est encore ainsi loutes les fois que les deux ensembles ont un point commun. Lorsqu'on dira qu'en supprimant de (G) les points de (X) qui appartiennent à (G) il reste deux continuums, il faudra entendre que ces deux continuums sont distincts, qu'ils n'ont pas de point commun; en d'aulres termes qu'ils sont extérieurs l'un à l'autre.

La frontière du continuum (C), ou les frontières des deux continuums dans lesquels se décompose (C), sont évidemment formées par les points de (X) et les points de la frontière de (C). Dans le second cas, (X) est une frontière commune, puisque les points situés au-dessus de (X) appartiennent à l'un des continuums et que les points situés au-dessous appartiennent à l'autre.

Il est manifeste que les conclusions seraient les mêmes si le lien (X), au lieu d'être défini par les formules

y =f(x)> ^o ^ x < xy

était défini par des formules telles que

œ=/(j)> Jo^J^Ji-

J'aurai souvent à parler de liens définis par des formules telles que les précédentes, d'une sorte ou de l'autre; je les désignerai sous le nom de liens élémentaires du type Jh et je désignerai sous le nom de lien du type Jb un lien simple, ouvert ou fermé, qui puisse se décomposer en une suite limitée de liens élémentaires du type Jb. L'extrémité de chacun de ces liens élémentaires coïncide avec l'origine du lien élémentaire suivant; si le lien est fermé, l'extrémité du dernier lien élémentaire coïncide avec l'origine du premier lien élémentaire ; deux des liens élémentaires n'ont pas de points communs, en dehors de ceux qu'on vient de spécifier ; cela résulte de ce que, par hypothèse, le lien total, ouvert ou fermé, est simple.

Un point ordinaire d'un lien du type Jb est un point qui n'est ni l'origine ni l'extrémité d'un des liens élémentaires qui le composent, en sorte qu'on puisse sûrement mener par ce point un vecteur, parallèle à l'un des axes, que le lien traverse <n° 296\ Pour qu'un lien défini par les formules