CHAPITRE IX. LANGAGE GÉOMÉTRIQUE 2o

soit composé d'un nombre fini de liens élémentaires du type Jb, il faut et il suffit que l'intervalle (a, |3) puisse être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels tels que dans chacun l'une au moins des fonctions g(t), h{() soit ou croissante ou décroissante.

La condition est suffisante; si, en effet, dans l'intervalle (oc', |3') la fonction g(t), par exemple, est croissante, l'équation x = g (t) définira t comme une fonction continue et croissante de x dans l'intervalle [g (a'), g (|3')] et la formule y = h (i) achèvera de définir y comme une fonction continue de x dans le même intervalle.

En se reportant aux nos 168 et 169 le lecteur reconnaîtra sans peine que la condition est nécessaire.

307. — Considérons un lien du type Jb et soient (Xj), (2X),..., (X„) la suite des liens élémentaires du type A qui le composent. Je supposerai d'abord que le lien soit ouvert.

Le plan constitue un continuum sans frontière. Quand on en supprime les points de (Xi), il reste un continuum (Ci), dont la frontière est (Xi). Si, de ce nouveau continuum, on supprime les points de (X2) dont l'origine, mais non l'extrémité, appartient à la frontière de (Ci), on aura un nouveau continuum (C->), dont la frontière sera l'ensemble des points qui appartiennent à (Xi) et à (Xo) ; en supprimant ensuite, successivement, les points de (X3),..., de (X„), on parviendra à un continuum (G»), dont la frontière sera le lien considéré. Tout point du plan qui n'est pas sur ce lien appartient au continuum.

Supposons maintenant que le lien soit fermé : c'est alors, puisqu'il est simple, que l'extrémité de (Xra) coïncide avec l'origine de X(. En supprimant du continuum C„,, dont la frontière est formée des points de (Xj), (X2),... (Xn t), les points de (X„), dont l'origine et l'extrémité appartiennent à la frontière de (C^i), on peut former au plus deux continuums. On en forme effectivement deux : considérons en effet un vecteur AB qui soit traversé par le lien en un point M et qui soit assez petit pour n'avoir aucun autre point commun avec le lien fermé que le point M ; supposons que ce lien soit parcouru dans un certain sens; les points A et B, dont les ordres par rapport au lien fermé diffèrent d'une unité, ne peuvent appartenir au même continuum. L'un des continuums s'étend à l'infini; l'ordre des points à l'infini étant nul, il en est de

même de l'ordre d'un point quelconque du continuum ; ce continuum est dit extérieur au lien fermé; l'autre continuum sera dit intérieur.

En disant d'un point, d'un ensemble de points, qu'ils sont intérieurs au lien fermé, on entend que ce point, que tous les points de cet ensemble, appartiennent au continuum intérieur au lien; de même, si tous les points d'un ensemble appartiennent au continuum extérieur au lien, on dira que cet ensemble est extérieur au lien.

Supposons que le point A soit intérieur et que le point B soit extérieur au lien : l'ordre du point B sera nul ; l'ordre de A est H- i ou — i suivant que le vecteur AB est traversé de droite à gauebe ou de gauche à droite. Tous les points intérieurs ont le même ordre; par conséquent, tous les vecteurs analogues à AB, qui vont d'un point intérieur à un point extérieur et qui sont traversés par le lien sans avoir plus d'un point commun avec lui sont traversés de la même façon, de droite à gauche, par exemple, si l'ordre des points intérieurs est + i ; on dit dans ce cas que le lien est parcouru clans le sens direct; il serait parcouru dans le sens indirect si l'ordre des points intérieurs était — - i, si tous les vecteurs analogues à AB étaient traversés de gauche à droite.

Rappelons enfin qu'on ne peut passer par un lien continu d'un point du continuum intérieur à un point du continuum extérieur sans rencontrer leur frontière commune [n° 291).

308. — Reprenons la démonstration du théorème fondamental on partant, non plus du plan, mais d'un continuum (G), dont je désignerai la frontière par (F).

Dans le présent numéro (F') désignera un lien simple, ouvert ou fermé, du type Jlo, dont aucun point ne sera extérieur à (G), qui pourra être tout entier intérieur à (C), qui pourra avoir un point et un seul situé sur (F), ou même comprendre un lien partiel dont tous les points appartiennent à (F), tous les autres points étant intérieurs à (C). On exclut la supposition où (F') aurait deux points distincts A, B situés sur (F) et tels qu'on ne puisse pas aller de l'un à l'autre par un lien qui fasse partie à la fois de (F') et de (F). On exclut aussi la supposition où tous les points de I appartiendraient à F : ainsi, il doit y avoir quelque lien élémen-