CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 2O

taire clu type Jb qui l'ait partie de (F') et qui est intérieur à C : on peut donc mener un petit vecteur intérieur à (C) qui soit traversé par (F').

Ceci posé, la même démonstration que dans le cas du plan montre que l'ensemble des points de C qui restent après la suppression des points de F'j qui appartiennent à C) (et non à sa frontière) constitue un ou deux continuums.

Quand le lien (F') est ouvert, il reste un seul continuum dont la frontière se compose évidemment des points de (F et de (F'). Si, par exemple (G, est le voisinage Y(oV du lien ouvert F' , il ne reste qu'un continuum quand on supprime de V(dV) les points de (F') : on peut donc relier par une ligne brisée qui n'atteint pas (F') et dont tous les points sont à une distance de F' moindre que r) deux points quelconques non situés sur vF'y et à une distance de (F') moindre que è.

Supposons maintenant, en revenant au cas d'un continuum quelconque (CL),, que (If) soit fermé. Il suilit de considérer un petit vecteur AB, intérieur à (C), traversé en M par F' et n'ayant pas d'autre point commun avec (F') que M. pour reconnaître que les deux points A, B dont le premier est extérieur et le second intérieur à F' , ne peuvent appartenir à un même continuum, quand on a supprimé de (C) les points de (F' qui appartiennent a G . Après cette supression, il reste deux continuums dont l'un .Cl est l'ensemble des points [tous extérieurs à F' .] que l'on peut relier à A par un lien intérieur à (C) qui n'atteint pas (F')r dont l'autre (G,) est l'ensemble des points [tous intérieurs à (F')] que l'on peut reliera B de la même façon. C, est l'ensemble des points de (C) qui sont extérieurs à F' , (C,' est l'ensemble des points de (C) qui sont intérieurs à F' . Tout point de F') intérieur à G) est un point de la frontière de ([C,) et de la frontière de (G,) ; cela est clair s'il s'agit d'un point ordinaire de (F') et, puisqu'une frontière est un ensemble clos, cela reste vrai pour les points, en nombre fini, où se raccordent deux liens élémentaires, puisque ces points peuvent être regardés comme des points d'accumulation de l'ensemble des points ordinaires. Les points de (F sont des points frontières, soit pour (G/', soit pour (GQ. Inversement, tout point frontière de (G,), ou de C^, appartient soit à (F), soit à (F').

Si, par exemple, (G) est le voisinage V (iï) du lien fermé (F'), et si l'on supprime de ce voisinage les points de (F'), il restera deux continuums, dont l'un sera intérieur à (F') et l'autre extérieur.

Revenons au cas général. Le lien fermé (F'), qui sépare (C) en deux continuums (G,) et (Ci), sépare aussi le plan en deux continuums dont l'un (C) est l'ensemble des points du plan qui sont intérieurs à (F') ; le continuum (C) contient donc (C[) ; pour qu'il lui soit identique, il faut et il suffit qu'aucun point de (F) ne soit intérieur à (F') ; cette condition, évidemment nécessaire, est suffisante. Si, en effet, on la suppose vérifiée, (C) est contenu dans (C) ou est extérieur à (C) (n° 300) ; or la seconde supposition est inadmissible puisqu'il y a des points de (C) intérieurs à (C) ; un point de (C) appartenant à (C) et étant intérieur à (F') appartient nécessairement à (C,) : les deux continuums (G\) et (C) sont identiques. Dans ce cas, la frontière de (C|) est évidemment (F'), la frontière de (C,) se compose de (F) et de (F'), lorsque (F) et (F') n'ont pas de point commun ou ont un point commun et un seul.

Au lieu du lien (F') assujetti aux conditions énumérées plus haut, considérons un lien fermé (0), du type Jb, dont un point soit intérieur à (C) et qui ne contienne à son intérieur aucun point de (F). On reconnaîtra sans peine, comme tout à l'heure, que l'ensemble des points de (G) qui sont intérieurs à (<t>) est identique au continuum intérieur à ($), c'est à-dire à l'ensemble des points du plan qui sont intérieurs à ($). Les points de (<I>) sont ou des points de (C), ou des points de (F).

Reprenons le continuum (G) : considérons maintenant n liens fermés (F'), (F"). ..., [F(,,)], du type Jb, tous intérieurs à (C) et, par conséquent, sans point commun à la frontière (F) de (G) ; supposons en outre que les n liens (F7), (F"), ..., [F('()] soient extérieurs deux à deux les uns aux autres. Dans ces conditions, l'ensemble des points intérieurs à (C) et extérieurs à (F'), (F"), ..., [F(ra)] constitue un continuum (G„), comme on le voit en procédant de proche en proche : l'ensemble des points intérieurs à (G) et extérieurs à (F') constitue un continuum (C,) : l'ensemble des points intérieurs à (G^ et extérieurs à (F") constitue un continuum (C2) que l'on peut tout aussi bien définir comme l'ensemble des points intérieurs à (C) et extérieurs à la lois à (F') et à (F") ; etc.. .