CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFIMES
Toute fonction /(se) continue dans l'intervalle (a0, a) est intégrante dans cet intervalle.
Si., en effet, la fonction f(x) est continue, à chaque nombre positifs correspond un nombre positif rt tel que, dans tout intervalle contenu dans (a0, a) et dont l'écart est moindre que rh l'écart de la fonction soit moindre que s; si donc les écarts des intervalles partiels de la décomposition a0, ai, ..., a) sont moindres que rn la somme
(ai — a0) (Ml — ml) + (aâ — «,) (Ma — m2) +.,.-+- (a — a„i){M„ — ma)
sera moindre que (a — a0)s. La proposition est démontrée.
Si la fonction /(se) est définie dans l'intervalle (aQ, a) et si, dans cet intervalle, elle est soit non-décroissante, soit non-croissante (n° 163), elle est intégrable dans cet intervalle.
Plaçons-nous dans le premier cas ; on a alors
M, =/(<«,), M, =/(a,)....,Ma =/(«), mi =/(«(}). '«2 =/(«i). •••, ™n=f{a,i-i),
d'où
(a, — a0) (Mt — mj -h (a2 — «J (Ms — m2) -h... H- (a — an i) (M„ — m»)
Soit yj le plus grand des écarts des intervalles partiels ; le second membre est au plus égal à
3 [M) — /(ao) H- /(«a) ~/(«i) + ••• H" /(a) — /(««-i)] si l'on se donne le nombre positif s, il suffira de prendre
249. — Si une fonction /(se), bornée dans l'intervalle (a0, a), est intégrable clans cet intervalle, il en sera de même d'une fonction bornée F(xj égale à la fonction /(se) pour toutes les valeurs de se
appartenant à l'intervalle (a0, a), sauf quelques valeurs en nombre limité, et l'on a
f(x) dx = I F (x) dx ;
Jo
si, en effet, pour les deux fonctions f( x), F (a;) on considère par exemple deux sommes supérieures relatives à une même décomposition, on voit que les éléments de ces deux sommes ne peuvent différer que pour les intervalles partiels auxquels appartiennent des valeurs de a; qui rendent différentes les deux fonctions/(a:), F (œ); la différence entre les deux sommes peut donc être supposée aussi petite qu'on le veut, puisque ces intervalles sont en nombre limité; le même raisonnement s'applique à deux sommes inférieures relatives au même mode de décomposition, etc.
Il est bien aisé de voir que la proposition subsisterait si l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles les deux fonctions f(x), F (a?) diffèrent était infini, mais d'étendue extérieure nulle.
Si l'on a a0 << b ■< a et si la fonction f{x) est intégrable dans l'intervalle (a0, a), on a
ra pb na
I f(x)dx = j f(x)dx -+- I f(x)dx.
iA<0 J «o J b
Si, étant donnée une fonction fix) clans un intervalle (a„, à), on peut décomposer cet intervalle en intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction soit, ou continue, ou constante, ou noncroissante, ou non-décroissante, la fonction sera susceptible d'intégration clans l'intervalle (a0, a) et l'intégrale définie relative à cet intervalle sera la somme des intégrales relatives aux intervalles partiels.
On a supposé jusqu'ici a0 <; a. Lorsqu'on a a0 > a et que la fonction f\ x ) est intégrable dans l'intervalle (a, a0), on pose
f(x)dx = — / f{x)dx,
J a0 Ja
et cette égalité peut être regardée comme une définition du premier membre; du reste, on reconnaît immédiatement que la définition de l'intégrale, donnée au n° 240, s'applique dans ce cas, avec des
