CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

Si aucun point de (F) n'est intérieur à F . F' , . .., [F(,!)], on peut dire que ces n derniers liens décomposent (G) en n -+- i continuums : à savoir, les n continuums (C , 'G"), ..., [C('!)] respectivement intérieurs à (F'), (F"), ..., [F('!)] et le continuum (Gn) ; la frontière de ce dernier continuum se compose de la frontière (F) de (C) et des liens (F7), (F"), ..., [F<">]. Tout point de (G) qui n'appartient à aucun des liens (F'), (F"), ..., [F(n)] appartient à l'un des n -h i continuums et à un seul. Deux points de (C„) peuvent être reliés par un lien (une ligne brisée, si l'on veut) qui soit tout entier intérieur à (C„) ; cela revient à dire que deux points quelconques du continuum (C), extérieurs aux liens fermés (F'), (F"), ..., [F(n)] peuvent être reliés par un lien intérieur à (C) et n'ayant aucun point commun avec les liens (F'), (F"). ..., [¥{n)\. Il nous sera commode, un peu plus tard, d'avoir fait cette remarque évidente.

309. — Soient (F) et (F') deux liens fermés du type Jb qui n'ont aucun point commun, ou qui n'ont qu'un point commun, ou encore qui ont un lien partiel commun, mais sans aucun point commun en dehors de ce lien partiel ; soient C et :T) les continuums intérieur et extérieur à (F) ; soient C' et T') les continuums intérieur et extérieur à (F').

Remarquons d'abord que, en vertu des suppositions, chacun des liens (F), (F'), en faisant abstraction des points communs, s'il y en a, est tout entier dans le continuum intérieur ou tout entier dans le continuum extérieur à l'autre. Plaçons-nous, en effet, dans le cas où (F), (F') ont un lien partiel commun. La partie du lien (F'), par exemple, autre que ce lien partiel commun, ne peut pas contenir à la fois un point intérieur à F et un point extérieur à (F) sans contenir un point de (F), contrairement à l'hypothèse.

Les points de (F'), non situés sur (F), sont donc tous intérieurs à (F), ou tous extérieurs à (F) (J). Dès lors, les propositions établies au n° 308 s'appliquent immédiatement.

I. Plaçons-nous d'abord dans le cas où les points de (F') non situés sur (F) sont tous intérieurs à (F). Il est aisé de voir que les

(') Si tous les points de (F') appartenaient à (F), les deux liens (F), (F coïncideraient, ainsi que les continuums (C) et (C), (T) et (F').

Tannery II. — Introduction à la Théorie des fonctions 14

continuums (F) et (C7) sont extérieurs l'un à l'autre et sont respectivement intérieurs à (F') et à C).

En effet, puisque (F) ne contient aucun point de (F'), frontière de (C) comme de (F), (F) est extérieur à (C) ou contenu dans (C) ; il est extérieur à (F') ou contenu dans (F7). Or, (T) ne peut être contenu dans (C) dont tous les points sont à distance finie; il ne peut être extérieur à (F'), puisque (F) et (F') ont des points communs, à savoir les points très éloignés : (F) est donc extérieur à (C) et intérieur à (1 ') ; au surplus, ces deux affirmations sont équivalentes. (C) étant extérieur à (F) est forcément contenu dans (C;.

Par des considérations analogues, et sans aucune peine, le lecteur établira les conclusions relatives au second cas, que je me contente d'énoncer.

II. Lorsque les points de (F') non situés sur (F) sont tous extérieurs à (F), deux sous-cas sont possibles.

i° (F7) et (C) sont extérieurs l'un à l'autre et sont respectivement intérieurs à (r) et à (C). Ce cas n'est pas réellement distinct du cas I ; seulement le rôle des lettres accentuées et des lettres non accentuées est interverti.

2° (r) contient (G7;, (F'7) contient (G) ; (C) et (C7) sont extérieurs l'un à l'autre.

Que les deux cas puissent se présenter effectivement, il suffit pour s'en assurer de penser au cas où (F) et (F7) sont deux cercles.

Remarquons encore que si l'on supprime du plan les points de ! F; et de (F'), il reste trois continuums.

Dans le cas I, ces trois continuums sont : le continuum (C), de frontière (F') ; le continuum (F), de frontière (F) ; un continuum intérieur à (C; est extérieur à G'), qui n'est autre que le continuum (Ci) ensemble des points de (C) qui sont extérieurs à (F') ; sa frontière, lorsque (F7) est tout entier intérieur à (C) se compose des liens (F), (F7). Les circonstances sont analogues quand on se place dans le sous-cas i° du cas IL Enfin dans le sous-cas 2" du même cas II, les trois continuums sont le continuum C\ le continuum (C) et le continuum ensemble des points extérieurs à la fois à F el à F , dont ces deux liens constituent la frontière.