CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

310. — Je vais maintenant étudier la figure formée par le lien fermé (F), du type A, et par un lien simple (T) du type Jfo, qui jointf1) deux points K0, Ki de (F) et n'a aucun point commun avec (F) en dehors des points K0 et Ki. Je désignerai par (T'j l'ensemble des points du lien (T) autres que K0 et Ki ; (T'j est tout entier intérieur soit au continuum (C) intérieur à (F), soit au continuum (T) extérieur à (F).

Les deux points K0, Kt partagent (F) en deux liens partiels que je désignerai par ($') et ($"). (<£>') et (T) d'une part, ($") et T d'autre part, forment des liens fermés du type Jf> que je désignerai par (F') et (F"). Soient enfin (C) et (C") les continuums intérieurs à ces liens, (Y1) et T"; les continuums extérieurs. Plaçons-nous d'abord dans le cas où T') est tout entier intérieur à (C). D'après ce que l'on a dit au n° 309, les continuums (C) et (G") sont intérieurs à (F) ; aucun de ces continuums ne contient de point appartenant à la frontière de l'autre ; il faut donc qu'ils soient extérieurs l'un à l'autre ou qu'ils soient identiques (n° 300) : cette dernière alternative doit être rejetée puisque les deux continuums n'ont pas la même frontière. D'autre part, quand on supprime de (G) les points de (F') qui appartiennent à (G), c'est-à-dire les points de (T'), il reste deux continuums dont l'un est (G') ; en regardant (T) comme appartenant à (F'), on voit qu'en supprimant (T')

(') Si l'on considère un point K de la frontière d'un continuum, il n'est pas évident qu'on puisse le relier à un point quelconque du continuum par un lien intérieur au continuum, sauf son origine K : cela, toutefois, résulte immédiatement de la définition d'un continuum, si le point K peut être regardé comme l'origine d'un petit vecteur appartenant au continuum, sauf le point K lui-même. Si, en particulier, la frontière comporte un lien élémentaire du type Jfo, tel que les vecteurs suffisamment petits et parallèles à l'axe des y, par exemple, qui sont traversés par ce lien sont ainsi divisés en deux parties dont l'une est intérieure au continuum, tous les points du lien élémentaire, sauf peut-être son origine et son extrémité jouiront de la propriété considérée. Tout les points ordinaires d'un lien fermé (F) du type Jh jouissent de cette propriété. Deux de ces points peuvent être reliés par une ligne brisée qui soit, sauf son origine et son extrémité, tout entière intérieure à (F) ou tout entière extérieure.

de (C), il doit rester deux continuums dont l'un est (G") : Puisque les deux continuums (C) et (G") sont distincts, il faut bien que les deux continuums qui subsistent lorsqu'on supprime (T') du continuum (C) soient précisément (G') et (C'y.

Un point du plan qui n'appartient ni à (F) ni à (T) peut n'appartenir à aucun des trois continuums (G), (C), (C") ; il appartient alors au continuum (T) extérieur à (F) ; s'il appartient à l'un des trois continuums, il appartient à deux et à deux seulement.

En pensant à un petit vecteur traversé soit par (<£'), soit par (0"), soit par (T'}, on reconnaît immédiatement la vérité de la proposisition suivante :

Un mobile qui décrit successivement les liens fermés (F'), (F") dans le sens direct, se trouve avoir décrit le lien (F) dans le sens direct et, en plus, le lien ouvert (T) deux fois, une fois dans un sens, une fois dans le sens opposé.

Fia-. i5.

Fis. 16.

Supposons maintenant que (T') soit extérieur à (C) : puisque (G) ne contient aucun point de (F'), (C) est intérieur à (C) ou extérieur à (C). Les deux cas peuvent d'ailleurs se présenter.

Les frontières des deux continuums (C) et (C) ont en commun le lien (<[>') : si le premier continuum est intérieur au second, le reste ($") de sa frontière est aussi intérieur à (C), sauf les points K0 et Ki, en sorte qu'on est ramené au cas que l'on vient cV examiner, si ce n'est que (F') remplace (F) et que (<!>") remplace (T) : le lien (<£") partage (C) en deux continuums (C) et (C").

Si (C) est extérieur à (C), on est dans le cas, examiné au n° 301. de deux continuums, extérieurs l'un à l'autre, qui ont une portion de frontière commune et dont la réunion (par la suppression de la frontière commune), constitue le continuum (C ") ; sauf la