CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 2l

différence des notations, c'est encore la figure examinée en premier lieu.

Au surplus, ces divers résultats se tirent sans peine de la proposition du n° 297 : les trois liens fermés (F), (F'), (F") sont constitués en prenant deux des liens ($'), ($"), (T) qui joignent K0 et Ki : on peut toujours s'arranger, en choisissant convenablement les sens de parcours, pour que la somme des ordres d'un point quelconque par rapport à (F), (F'), (F") soit nulle : on en conclut qu'un point doit être extérieur aux trois liens ou à un seul de ces trois liens, etc.

311. — On a souvent à considérer des liens composés de liens élémentaires du type A> et formés d'un lien simple ouvert AB et d'un lien fermé simple passant par le point B et auquel le lien AB est extérieur, sauf le point B. Je désignerai un tel lien sous le nom de lacet, le lien simple AB étant la lige et la courbe fermée la boucle du lacet. Sauf dans le cas où la

tige n'existe pas, parce que les points A f \

et B sont confondus, un lacet n'est pas a V J

un lien du type A puisque ce n'est pas un lien simple. Décrire le lacet, c'est

décrire d'abord la tige AB, en allant de l'origine A vers l'extrémité B, puis la boucle, puis la tige de B vers A. Suivant qu'on a décrit la boucle dans le sens direct ou dans le sens indirect, on dira qu'on a décrit le lacet dans le sens direct ou dans le sens indirect.

Un point qui n'appartient pas au lacet lui est intérieur ou extérieur suivant qu'il est intérieur ou extérieur à la boucle.

Si on considère un continuum (G) et un lacet dont tous les points appartiennent au continuum, sauf peut-être l'origine qui peut appartenir à la frontière, et qu'on supprime de (G) tous les points du lacet (sauf l'origine lorsqu'elle appartient à la frontière), il restera deux continuums. En effet, quand on supprime la tige (sauf peut-être l'origine), il reste un continuum (G'); on est alors ramené au cas où l'on supprime d'un continuum les points d'un lien fermé simple (la boucle) qui a un point commun (l'extrémité de la tige) avec la frontière. L'un des deux continuums est intérieur à la boucle, et l'autre extérieur. Le premier se confond avec l'en-

2l4 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

semble des points du plan intérieurs à la boucle si celle-ci ne contient à son intérieur aucun point de la frontière de (C).

312. — Considérons un lien fermé (F), du type Jb, le continuum (C) intérieur à ce lien fermé et, comme à la fin du n° 308, n liens fermés (F'), (F"),..., [F(n)], du type Jb, tous intérieurs à (F) et dont chacun est extérieur aux autres; Le continnum (G»), ensemble des points de (C) qui sont extérieurs à (F'), (¥"),... [F(n)], a pour frontière les liens (F), (F'), (F"),..., [F(,i)] ; pour abréger, je désignerai cette frontière par (H). Un mobile qui parcourt (F) dans le sens direct et (F'), (F"),..., [F(n)], dans le sens indirect traverse de droite à gauche les vecteurs qui vont de l'intérieur de (Cn) à l'extérieur et cela sur quelque partie de la frontière que se trouve le mobile; pour cette raison, il convient de dire que le mobile considéré parcourt la frontière (H) dans le sens direct.

Je désignerai sous le nom d'ordre d'un point non situé sur (H), par rapport à (H), la somme des ordres de ce point par rapport aux liens (F), (F'),... [F(n)] parcourus dans le sens qu'on vient de dire. Il est clair que l'ordre, par rapport à (H), d'un point extérieur à (G) et, par conséquent aux n -+- i liens (F), (F'),..., [F(n)] est nul, puisque l'ordre de ce point par rapport à chacun de ces liens est nul ; l'ordre par rapport à (H) d'un point intérieur à (F') est encore nul, car il est la somme de l'ordre par rapport à (F) qui est égal à + i , de l'ordre par rapport à (F') qui est égal à — i , des ordres par rapport à (F"), (F'"),..., [F('l)] qui sont tous nuls; on voit de même que l'ordre par rapport à (H) d'un point intérieur à (G„) est égal à i. On voit donc qu'en prenant les ordres par rapport à (H), les choses se passent comme pour un lien fermé du type Jb : les points extérieurs à (Gn) ont un ordre nul, qu'ils soient d'ailleurs extérieurs à (F) ou intérieurs à l'un des liens (F'), (F"),..., [F(n)] ; les points intérieurs à (C„) ont un ordre égal à i .

Je veux maintenant montrer qu'on peut décomposer le continuum (C,i) en deux continuums, dont chacun est le continuum intérieur à un lien fermé du type Jb, et cela au moyen de n -H i liens du type Jb, dont chacun, isolé des autres, est tout entier intérieur à (G»), sauf son origine et son extrémité (*), le premier

(') La figure est faite en supposant n = a.