CHAPITRE IX. LANGAGE GE0METP.1QUE

ou/1 ira d'un point a de (F) à un point al de (F'), le second /S'a" d'un point jS' de (F') à un point al1 de (F"),..., le dernier /3(iï)/3 d'un point 1S(,,) de F(n) à un point p de (F). Les points a, a', |3',,.., jS peuvent être pris arbitrairement sur les liens auxquels ils doivent appartenir, pourvu que ce soient des points ordinaires et que les deux points qui appartiennent à un même lien soient distincts.

Chacun des liens fermés (F), (F'), (F"),... est ainsi décomposé en deux liens partiels par le couple de points situés sur lui. Afin de distinguer ces deux liens partiels, imaginons que chaque lien fermé soit parcouru comme on Ta expliqué plus haut, en sorte que (H) soit parcouru dans le sens direct; soient (<ï>) et (4\) les deux parties de (F) que le mobile parcourt la première de a à ]3, la seconde de |3 à a ; soient de même (<£') et (${) les deux parties

de i F') que le mobile parcourt, la première de al à |3', la seconde de j3' à al ; etc.

J'arrive à la démonstration qui montrera comment on satisfait aux diverses conditions imposées, une fois qu'on a choisi les points a, al,..., |3 comme on l'a expliqué.

Partons du continuum (G). Il résulte d'abord des conditions imposées aux points a, al, [il , ..., fi et de la remarque faite à la fin du n° 309 que l'on peut mener un lien de a. à al qui soit tout entier, sauf son origine cl, intérieur à (G), qui n'ait pas de point commun avec (F'), sauf a', qui, enfin, n'ait aucun point commun avec (F"), (F'"), ..., [F(,!)] ; le lien a.al peut être regardé comme la tige d'un lacet (If) dont la boucle serait (F') ; l'ensemble des points de (G) qui sont extérieurs à (L/) constitue un continuum

2l6 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

(G') dont la frontière est formée de (F) et de (L/) : les liens (F"), (Fw), ..., [F(n)] sont intérieurs à (G') ; on peut mener un lien de 6' à a" qui soit tout entier, sauf son origine fj , intérieur à (G'), qui n'ait pas de point commun avec (F") sauf a", qui, enfin, n'ait aucun point commun avec (F'"), ..., [F(n)]. Le lien |3'a" peut être regardé comme la tige d'un lacet (L") dont la boucle serait le lien (F") ; l'ensemble des points de (G') qui sont extérieurs à (F") constitue un continuurn (G") dont la frontière est formée de (F) et des lacets (L'), (L"). On peut continuer ainsi; on parvient à un continuurn (Gn), dont la frontière est formée de (F) et des lacets (L'), (L"), . .., [L(?l)] ; c'est l'ensemble des points de (C) qui sont extérieurs à (F'), (F"), ..., [F(n)] et qui ne sont pas sur les liens ad, jS'a", j3V, ..., j3(n 1) a(n) ; ou, si l'on préfère, l'ensemble des points de (Gn) qui ne sont pas sur ces derniers liens.

Jusqu'à présent, tout en modifiant à chaque fois la frontière du continuurn, on n'obtenait jamais qu'un continuurn ; seulement, à chaque fois, on diminuait le nombre de morceaux dont se composait la frontière, en sorte que maintenant cette frontière est, comme on dit, d'un seul tenant ; pour la décrire, on peut, en partant par exemple du point a, décrire successivement (<E>) (0,), aux.', ($'), |S'a", ..., [$<»>], [$<*>], a<»>]3<,,-1>, ..., (OJ), a'a ; le lien formé ainsi n'est pas simple : chacun des liens partiels asjl ', jS'a", ... que l'on a introduits est décrit deux fois, une fois dans un sens, une fois dans l'autre; le reste se compose de la frontière (H) du continuurn (C), décrite dans le sens direct. Si, maintenant, on mène un lien intérieur à (G„), sauf son origine et son extrémité, qui joigne j3„ à jS, on a achevé la décomposition : on va voir en effet que les points de (G„) qui n'appartiennent pas au lien |3,j3, forment deux continuums (G'n), (G«) : le premier est le continuurn intérieur au lien fermé du type Jb, dont la frontière (H') se compose des liens partiels

(*), pp(»)> [*(")], a(»)p(«-D( ... (#{

in

le second est le continuurn intérieur au lien fermé du type Jb, dont la frontière (H") se compose des liens partiels

aa', (*'), p'a", .... [*(»)], p(»)p, (*t).

On voit d'abord, comme au n° 310, que ces deux continuums