CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 2IJ

(G'„), (G"n) sont tous deux intérieurs à (Gra) et extérieurs l'un à l'autre. Il reste à montrer que tout point de (Gn) qui n'appartient pas au lien fi^fi ou, ce qui revient au même, tout point de (Cn) qui n'appartient à aucun des liens acd , /S'a", ..., /3(ra)|3 appartient soit à (G^,) soit à (GQ. Cela résulte immédiatement de ce que l'ordre d'un point quelconque par rapport à (H) est la somme des ordres du même point par rapport aux liens fermés (H'), (H"), le mouvement sur ces liens fermés correspondant à la succession des liens partiels qui les composent, tels qu'ils sont énumérés plus haut : dans cette dernière somme, en effet, se retrouvent toutes les parties qui constituent l'ordre par rapport à (H), et en outre des parties relatives aux liens partiels qui se détruisent manifestement. Ceci posé, si l'on considère un point de (G»), la somme de ces ordres par rapport à (H'), (H") doit être égale à i ; ce qui suppose que l'un des deux ordres est i et l'autre o, c'est-à-dire que le point considéré est intérieur à l'un des liens, et extérieur à l'autre.

313. — On a vu au n° 310 comment, en partant du continuum (C) intérieur a un lien fermé (F) du type Jfo, on pouvait, au moyen d'un lien intérieur à ce continuum et joignant deux points de sa frontière, le décomposer en deux continuums intérieurs euxmêmes à deux liens fermés du type Jh : comment, en décrivant ces deux derniers liens dans le sens direct, on se trouvait avoir décrit la frontière du premier continuum dans le sens direct et le lien intérieur deux fois, dans des sens opposés. On peut décomposer de la même façon l'un ou l'autre des deux continuums partiels, ou tous les deux, et continuer de la même façon. En procédant ainsi, par dichotomie, on subdivisera (C) en m continuums partiels (cs), (c2), ..., (Cm ayant respectivement pour frontières des liens fermés (/,), (/2), ..., (fm) du type (Jb). Les continuums (c,), (c2), ..., (c,n), tous intérieurs à (C), sont extérieurs les uns aux autres. Tout point de (C) appartient soit à l'un des continuums (cj), (c2), ..., (cm), soit à la frontière d'un de ces continuums. Les liens fermés simples (//), (/2), ..., (Jm) ont des parties intérieures à (C) qui appartiennent à la fois à deux frontières ; quelques-uns au moins ont des parties sur (F).

Tout point de (F) appartient d'ailleurs à l'un des liens (/,), (/2),

2l8 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

..., (fm), en sorte que si, au lieu, des continuums (C), (cd)., (c2), ..., cm), on considère les continuums complétés par leur frontière (C) + (F), (C]) + (/,), (c2) + (J,), ..., (cm) + (fn), on peut dire gué tout point appartenant au premier appartient à l'un au moins des m suivants, et que tout point qui appartient à l'un de ces m derniers appartient à (G). Si l'on parcourt chacun des liens (fi), (/2), . .., (fm) dans le sens direct, on se trouve avoir finalement parcouru (F) une fois dans le sens direct et chacune des parties de (f^, (/3), ..., (fm) qui appartiennent à (C) deux fois dans des sens opposés, en sorte que, si l'on considère un point qui n'appartienne à aucun des liens (fi), (/2), ..., fm), et si l'on regarde tous ces liens et le lien (F ) comme étant parcourus dans le sens direct, on peut affirmer que l'ordre de ce point par rapport à (F) est la somme des ordres de ce point par rapport à (fi), (f2), ..., (fm)-

Tout cela apparaît clairement en procédant de proche en proche. On ne fait jamais qu'appliquer les propositions du n° 310.

J'ai supposé qu'on partait d'un continuum (C) intérieur à un lien fermé du type Jb ; on aurait pu aussi bien partir d'un continuum tel que le continuum (Cn) du numéro précédent et de sa frontière (H), composée de n + i liens fermés du type Jb. On commencerait par décomposer ce continuum, au moyen de n H- i liens du type Jb, comme on l'a expliqué dans le numéro précédent; le reste est évident.

Peut-on toujours, en poussant la décomposition assez loin, s'arranger pour que l'écart de chaque continuum (c,), (c2), ..., (cm) soit moindre qu'un nombre positif arbitrairement donné à l'avance? Que la réponse doive être affirmative, c'est ce qui ne paraît guère douteux. La proposition n'est pas sans importance, à cause des conséquences qu'on en tire. On peut évidemment se borner au cas où il s'agit du continuum intérieur à un lien fermé du type Jb. Pour rendre la démonstration aisée, je me bornerai à un cas un peu plus particulier.

314. — Je désignerai sous le nom de liens du type Jb' des liens simples ouverts ou fermés, composés d'un nombre fini de liens élémentaires, qui peuvent d'ailleurs appartenir à deux espèces différentes :

Les liens élémentaires de la première espèce, que j'appellerai