CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE 2ig

côlés (Y) sont simplement des segments de droite parallèles à l'axe des y. Les liens élémentaires de la seconde espèce, que j'appellerai côtés (X) doivent pouvoir être définis par des formules telles que

où f(x) est une fonction continue de x dans l'intervalle (a, |3),

Soit (F) un lien fermé du type J>' et (G) le continuum intérieur à ce lien.

Quand on parlera des côtés d'un tel lien, on devra toujours entendre que ces côtés sont aussi étendus que possible : chaque côté (Y) devra être borné au point le plus bas et au point le plus haut possible ; en d'autres termes, aucun côté (Y) ne peut être contigu à un autre côté (Y) ; de même deux liens partiels définis respectivement par les formules

doivent être regardés comme appartenant à un même côté (X). Un sommet de (F) est un point où se réunissent un côté (Y) et un côté (X), ou deux côtés (X). D'après ce qu'on vient de dire, une parallèle à l'axe des y menée par un sommet où se réunissent deux côtés (X) laisse ces deux côtés soit à sa droite, soit à sa gauche. Un côté est borné par deux sommets.

Les liens fermés simples ainsi constitués peuvent ne contenir aucun côté (Y), mais il est clair qu'ils contiennent au moins un côté (X) ; on prévoit qu'ils en contiennent au moins deux ; c'est d'ailleurs ce qui va être éclairci.

Un côté (X) traverse la parallèle à l'axe des y menée par ses points ordinaires ; on convient de regarder la direction de ces parallèles comme étant la direction positive de l'axe des y. Soient M le point où une telle parallèle est traversée, P et Q deux points de la parallèle situés de part et d'autre de M, assez près pour qu'il n'y ait, en dehors de M, aucun point de (F) sur le segment PQ ; les ordres des points P, Q par rapport au lien (F), parcouru dans le sens direct, diffèrent d'une unité ; l'un de ces points, P par exemple, appartiendra au continuum (G), l'autre lui sera extérieur : tous les points du segment MP, autres que M, appartiendront alors à (G), et même tous les points de ce segment, prolongé au-delà de

P, tant qu'on n'aura pas atteint (F). Comme les points à l'infini sur le prolongement de ce segment sont extérieurs à (C), il faut que ce prolongement rencontre (F) en un second point. Ainsi toute parallèle à l'axe des y qui rencontre un côté (X) rencontre nécessairement un second côté (X). Le lien (F) contient au moins deux côtés (X).

S'il n'en contient que deux, toute parallèle à l'axe des y qui rencontre l'un de ces côtés rencontre forcément l'autre. Le lien (F) ne peut alors se composer que des deux côtés ! X) définis respectivement par des formules telles que

et des deux côtés (\) qui joignent les points [a, /(a)], [a, g (a)] d'une part, les points [|3,/(/3)], [jS, </(/5)] d'autre part; le premier de ces côtés (Y) disparaît d'ailleurs si l'on a /(a) = </'(a), et le second, si l'on a/(|3) = #(/3). Il est à peine utile de dire que la différence f{x) — g (x) ne peut, puisque le lien est simple, s'annuler dans l'intervalle (a, S) pour aucune valeur de x autre que a ou jS. En abusant un peu du mot, je désignerai, dans le présent numéro, sous le nom de trapèze, l'ensemble des points appartenant soit au lien fermé simple du type considéré et n'ayant que deux côtés (X), soit au continuum intérieur à ce lien fermé simple. Si les deux côtés sont définis par les formules (i , et si l'on suppose f{x) <C g(x) pour a << x <C |3, ce continuum intérieur sera l'ensemble des points (x, y") dont les coordonnées satisfont aux conditions

a<rc<p, /(x) <Y <g{x).

La dénomination de trapèze continuera d'être employée, lors même qu'il n'y aurait point de côté (Y).

Il est clair qu'une parallèle à l'axe des y dont l'équation est x = a (a < a <C Si) décompose le précédent trapèze en deux trapèzes, et que, par suite, un trapèze peut être subdivisé, au sens du précédent numéro, en trapèzes tels que la distance entre les deux côtés (Y) qui limitent chacun d'eux soit aussi petite qu'on le voudra ; il est clair aussi que ces nouveaux trapèzes peuvent être subdivisés par des parallèles à l'axe des x en rectangles et en trapèzes;