CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

que, enfin, le trapèze primitif peut être subdivisé, par dichotomie, en rectangles et en trapèzes tels que l'écart de chacun d'eux soit aussi petit qu'on le voudra.

Donc, pour démontrer que la figure formée par un lien fermé (F du type considéré et par le continuum (C) intérieur à (F) peut être subdivisée en conlinuums complétés par leurs frontières dont les écarts soient aussi petits qu'on le veut, il suffit de prouver que cette figure peut être subdivisée en trapèzes. On y parviendra sans peine, par induction, en montrant qu'une figure de l'espèce considérée, qui n'est pas un trapèze, peut être décomposée en deux autres de la même espèce, dont chacune a moins de côtés (X) que la proposée. C'est cette démonstration qui va maintenant nous occuper ; on raisonnera sur le lien (F) et le continuum intérieur (G).

Considérons un segment de droite AA' parallèle à l'axe des y, joignant deux points A, A' situés sur (F) et dont tous les points, autres que A et A', soient intérieurs à (C). Les points A, A' décomposent (F) en deux parties et le segment AA' décompose (C) en deux continuums partiels dont les frontières respectives sont formées de l'une des parties de (F) et du segment AA', commun aux deux frontières. En d'autres termes, la frontière de chaque continuum partiel se déduit de (F) en conservant l'une des parties de (F) et en remplaçant l'autre par le segment AA' ; si donc la partie de (F) que l'on a supprimée contient un côté (X) de (F) tout entier, la partie conservée contiendra sûrement un côté (X) de moins que (F) et il en est de même de la frontière obtenue en lui adjoignant le côté A A', qui est du type (Y). Donc, toutes les fois qu'on pourra mener un segment AA' parallèle à l'axe des y, dont les extrémités A et A' sont sur (F), dont tous les points, autres que ces extrémités, appartiennent à (C), tel enfin que les deux parties de (F) que déterminent les points A, A' contiennent chacune un côté entier de (F) du type (X), la réduction annoncée sera effectuée.

Si les autres conditions imposées au segment AA' sont vérifiées, la dernière l'est aussi lorsque l'un des points A, A', le point A par exemple, se trouve être un sommet. Ce sommet, en effet, peut être commun soit à deux côtés (X), soit à un côté (X) et à un côté (Y). Dans le premier cas, les deux côtés (X) qui se réunissent en A, n'ont pas d'autre point commun avec AA' que le point A : ils appartiennent donc tout entiers, le premier à l'une des parties de (F),

le second à l'autre partie. Dans le second cas, soit P le sommet du côté (Y), autre que A. Le segment AA' dont les points, sauf A et A', sont intérieurs à (G) ne peut être que sur le prolongement, audelà de A, du côté AP ; il ne peut avoir d'autre point que le point A commun avec le côté (X) qui passe par A, il n'a aucun point commun avec le côté (X) qui passe par le point P ; le premier de ces côtés (X) appartient tout entier à l'une des parties de (F) ; le second côté (X), ainsi que le côté AP, appartient tout entier à l'autre partie. Dans les deux cas, le segment AA' permet d'effectuer la décomposition annoncée.

Considérons un côté (X) de (F), défini par les formules

y —fi00)' a = x = P ;

je désignerai par A et B les deux sommets, d'abscisses respectives a et p, que joint ce côté; pour fixer les idées, je supposerai que, sur ce côté, l'abscisse d'un mobile qui décrit (F) dans le sens di-

Ffe.

Fis-. 20.

rect va en croissant ; alors ce côté traverse les parallèles à l'axe des y de gauche à droite ; les points voisins appartiennent à (C) ou non, suivant qu'ils sont au-dessus ou au-dessous de ce côté.

Considérons maintenant le second côté BC qui part du point B et supposons d'abord que ce soit un côté X ; la parallèle à l'axe des y menée par le point B laisse alors à sa gauche les deux côtés BA, BC ; les points voisins de BC sont intérieurs ou extérieurs au continuum (C) suivant qu'ils sont au-dessous ou au-dessus de BC. Deux cas sont d'ailleurs possibles, suivant que le côté BC est, dans le voisinage du point B, au-dessous ou au-dessus du côté BA. Dans le premier cas, c'est, au voisinage de B, les points silués au-dessus de BA, au-dessous de BC, sur la parallèle à l'a\e des y