CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

menée par le point B ou à droite de cette parallèle qui appartiennent au continuum (G) et non les points situés entre les deux côtés BÀ et BC ; c'est l'inverse clans le second cas.

Soit, dans le premier cas, B' le premier point où la parallèle à l'axe des y menée par le point B et prolongée, soit vers le haut, soit vers le bas, rencontre (F); le segment de droite BB' qui appartient tout entier au continuum sauf les points B et B' permet évidemment d'effectuer la décomposition demandée.

Supposons maintenant que le côté BC soit un côté (Y), il peut descendre ou monter à partir du point B ; le lecteur reconnaîtra sans aucune peine la façon dont sont placés les points voisins des côtés AB, BC qui appartiennent au continuum (C) et s'assurera que dans le premier cas, le prolongement du côté CB vers le haut, au-delà du point B, pénètre dans le continuum et que si on désigne par B' le premier point où ce prolongement rencontre (F),

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le segment de droite BB' permet encore d'effectuer la décomposition cherchée. Si le côté BC monte à partir du point B, le côté suivant, qui part de C, peut être à droite ou à gauche de BC ; s'il est à droite, on reconnaît encore que le prolongement de BC vers le haut, au-delà du point C pénètre dans le continuum (C), en sorte que si l'on désigne par C le premier point où le prolongement rencontre (F), le segment CC répond encore à la question.

Des observations toutes pareilles se rapporteraient au sommet A et aux côtés voisins. En réunissant toutes" ces observations on reconnaît que les seuls cas qui échappent à la démonstration sont les suivants :

i° Les côtés AQ, BC, autres que AB, qui passent par les points A, B sont des côtés (Y) qui, à partir des points A, B montent vers

le haut ; le côté QP, autre que AQ qui passe par le point Q est un côté (X) situé à droite de AQ ; le côté CD, autre que BG, qui passe par le point G est un côté (X) situé à gauche de BC.

2° Les autres cas rentrent dans celui-là, en supposant que le point Q se confonde avec le point A, ou que le point C se confonde

avec le point B ; les droites AQ et BC doivent alors être remplacées par les parallèles à l'axe des y, menées par les points A ou B. Si, par exemple, C est confondu avec B, il faut entendre que le côté, autre que AB, qui part de B est un côté (X) situé à gauche de la parallèle à Taxe des y menée par B. Ig" ' Je ne m'occuperai que du cas i°.

Définissons, dans l'intervalle (a, j3) la fonction h(x) par les conditions suivantes : pour x = a et pour x = ]3, ses valeurs respectives sont les valeurs des ordonnées des points Q, C ; pour x compris entre a et S, sa valeur est celle de l'ordonnée du premier point de (F) que l'on rencontre en s'élevant sur la parallèle à l'axe des y à partir du point [x, /(x)], en sorte que tous les points du segment qui va du point [x, f(x)] au point [x, h (ce)] sont, sauf ces deux points, intérieurs à (C). On reconnaît très aisément que la fonction h.(x), définie sans ambiguïté dans tout l'intervalle (a, p) est continue (à droite) pour x = a et (à gauche) pour x = |3, qu'elle est continue pour toute valeur x0 comprise entre a et |5 telle que le point [x0, h(x0)] ne soit pas un sommet, parce que, alors, quand se est suffisamment voisin de x0, le point [x, h(x)] reste sur le côté qui contient le point [x0, h(x0)]. Lorsque ce dernier point est un sommet, ce sommet peut être le sommet qui limite un côté (X) à droite ou à gauche ; la fonction h(x) est alors continue, pour x = x0, à gauche ou à droite. Comme cas particulier x0 peut être l'abscisse commune à tous les points d'un côté (Y) qui joint le sommet de droite d'un côté (X) au sommet de gauche d'un autre côté (X). Dans tous les cas, si x0 est un nombre intérieur à l'intervalle (a, |S) pour lequel la fonction h[x) est discontinue, le segment qui va du point [x0, /(#„)] au point [x0, h(œ0)], qui est un sommet, permet d'obtenir la décomposition demandée du continuum (C).