CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE

Le seul cas qui échapperait maintenant à la démonstration serait celui où la fonction h[x) serait continue dans tout l'intervalle (a, jS) ; mais alors le lien constitué par les deux côtés AQ, BC, du type (Y) et les deux côtés (X) que définissent les formules

serait fermé ; (F) se réduirait à ce lien, on aurait affaire à un trapèze.

La démonstration est terminée.

On vient d'établir que l'ensemble parfait (C) -+- (F) formé des points qui appartiennent soit au lien fermé simple (F), du type Jt/, soit au continuum (C) intérieur à ce lien, pouvait être décomposé en deux ensembles parfaits (C) -t- (F'), (G") H- (F"), constitués comme l'ensemble proposé, mais avec des frontières (F'), (F") qui ont chacune un ou plusieurs côtés (X) de moins que (F) : ces frontières ont une partie commune, à savoir le segment de droite, parallèle à l'axe des y, qui a servi à effectuer la décomposition ; en dehors de ce segment de droite, elles n'ont pas de point commun ; les deux conlinuums (G), (G") sont extérieurs l'un à l'autre; en supprimant la frontière commune, ils se réunissent, ainsi qu'on l'a expliqué au n° 301, pour reproduire le continuum (C).

Ceci rappelé, considérons, comme à la fin du n° 302, un point fixe 0 extérieur à l'ensemble (C) -+- (F), une direction fixe (D) parlant de ce point 0 et un point variable M ; si l'angle dont les côtés sont (D) et OM peut être défini comme une fonction continue du point M dans chacun des ensembles parfaits (C) -+- (F'), (C") -h (F"), il pourra être défini comme une fonction continue dans l'ensemble (C) -+- (F), ainsi qu'on l'a expliqué au n° 302. Dès lors il suffit de remarquer que l'angle considéré peut être défini comme une fonction continue de M dans un trapèze et d'appliquer le procédé d'induction, comme on l'a fait dans le présent numéro, pour démontrer que cet angle peut être défini comme une fonction continue du point M dans l'ensemble (C) -h (F) ; c'est ce qui avait été annoncé au n° 302.

315. — Reprenons les notations du n° 313 relatives à un lien fermé (F), du type Jb, frontière du continuum intérieur (G) et à la

Tannert II. — Inlro luction à la Théorie des fonctions 15

décomposition dichotomique de l'ensemble (G) -+- (F) en ensembles (c,) H- (/,), (c2) -+- (f2), ..., (cm) + (fm) dont les frontières (/,), (/2), ..., (fn) sont aussi des liens fermés du type Jb. A la fin du présent numéro, nous aurons besoin de supposer que les écarts des ensembles (c,) H- (/i), (c2) 4- (/2), ..., (cm) H- (/,„) sont plus petits que tel nombre positif que l'on veut. A partir de ce moment, on supposera que (F) appartient au type «A/ ; on pourra alors supposer que les décompositions qui aboutissent aux ensembles (&) H- (fi) ont été effectuées comme on l'a expliqué dans le précédent numéro, de manière à obtenir d'abord des trapèzes, puis d'autres trapèzes, qui peuvent être aussi petits qu'on veut, en poussant les décompositions assez loin.

Ceci posé, soient g(x, y), h(x, y) deux fonctions continues du point (x, y) dans l'ensemble parfait (C) H- (F). Je désignerai le point dont les coordonnées sont

S = gF(ac, y), n = h(x,y)

comme l'image du point x, y. Il est clair que, si un mobile décrit un lien fermé dont tous les points appartiennent à l'ensemble (C) -+- (F), son image décrira aussi un lien fermé. En particulier, si le mobile décrit les liens fermés (F), (f), (f2), ..., (fn) dans le sens direct, son image décrira dans un sens correspondant les liens fermés ($), (©,), (<p2), ..., (<pm) images des précédents. Un mobile qui parcourt les liens fermés (/,), (/,), ..., (fm) dans le sens direct se trouve avoir parcouru le lien fermé (F) dans le sens direct et, en outre, deux fois, dans des sens opposés, les parties de (f), (f2), ..., (fn) qui n'appartiennent pas à (F) ; l'image de ce mobile aura donc parcouru (<E>) dans le sens qui correspond au sens direct sur (F) et, en outre, deux fois dans des sens opposés, les images des parties de (/,), (f), ..., (/,„) qui n'apparliennent pas à (F). Si donc on considère un point I qui ne soit situé sur aucun des liens fermés (œj, (cp2), ..., (<p„,)> on peut affirmer que la somme des ordres de ce point par rapport à ces divers liens sera égale à son ordre par rapport au lien (0), chacun des liens (4>), (cpt), ..., ((Dm) étant parcouru clans le sens qui correspond au sens direct sur les liens (F), (/,), (/,), ..., (/»).

Mon objet est maintenant de démontrer la proposition suivante :