I. Si les équations

n'ont pas de solution dans l'ensemble (C) -+- (F), l'ordre du point (a, |3) par rapport à $ est nul.

Par conséquent :

II. Si cet ordre n'est pas nul, les équations (i) admettent une solution dans l'ensemble (C) -+- (F).

Du moment que l'on parle de l'ordre du point (a, jS) on suppose implicitement que cet ordre existe, c'est-à-dire que le point (a, jS) n'appartient pas à (0), ou encore que les deux équations (i) n'admettent pas de solution x0, y0 teille que le point (x0, j0) appartienne à (F).

Pour établir la proposition énoncée, je vais supposer que les équations (1) n'aient pas de solution, dans l'ensemble (G) -+- (F) et je démontrerai que dans ces conditions, l'ordre du point (a, 8) par rapport à (<D) est nul.

La distance

du point (a, |3) au point (5, jg) est une fonction continue de x,y dans l'ensemble parfait (C) -+- (F) ; elle atteint donc sa borne inférieure •et cette dislance n'est pas nulle, puisque, par hypothèse, les équations (i) n'ont pas de solution dans l'ensemble (C) -+- (F) ; il y a donc un nombre positif p tel que les images de tous les points de l'ensemble (G) -+- (F) soient extérieures au cercle de centre (a, jS) et de rayon p.

Ceci posé, soit s un nombre positif tel que la distance des images de deux points de (C) -+- (F) soit sûrement moindre que p lorsque la distance de ces points est moindre que s. Supposons maintenant que la décomposition de l'ensemble (G) H- (F) en •ensembles (c,) + (/,), (et) -h (/,;, ..., (cm) -+- (fm) soit telle que les écarts de ces différents ensembles soient tous moindres que s. : d'une part, si Pi est l'image d'un point de l'ensemble (c2) -4- (fi), les images de tous les points de cet ensemble seront intérieures au cercle décrit de Pi comme centre avec un rayon égal à p; toutes ces images sont d'ailleurs à une distance du point (a, |3) supérieure

à a ; en d'autres termes le point (a, |3) est extérieur à ce cercle décrit de P, comme centre qui contient à son intérieur les images de tous les points de (ci) H- (fi) ; l'ordre du point (oc, |S) par rapport à l'image ((pi) du lien fermé (fi) est donc nul, puisqu'on peut regarder le point (oc, |3) comme l'origine d'une demi-droite qui ne rencontre pas ((pi). Il en résulte que l'ordre du point oc, |3 par rapport à ($) est nul, puisque cet ordre est la somme des ordres du point oc, fi par rapport aux liens fermés (©,), (©2), ..., (<p„, .

Tout ceci s'étend immédiatement à la figure que Ion a considérée au n° 312 et qui est formée du lien fermé (F), des liens fermés (F'), (F"), ..., [F(n)] intérieurs à (F) et extérieurs les uns aux autres deux à deux, enfin du continuum (Cn) ensemble des points intérieurs à (F) et extérieurs à (F7), (F"), ..., [F(n)].

On continuera de représenter par (H) la frontière de (C„), formée des liens (F), (F'), ..., [F('!)] ; mais on supposera maintenant que tous ces liens appartiennent au type Jb'. Les fonctions (j(x, y), h (x, y) seront supposées continues clans l'ensemble parfait (C„) -+- (H). Décrire (H) dans le sens direct, c'est décrire (F) dans le sens direct et les liens (F'), (F"), [F(n)] dans le sens indirect ; les liens fermés (<î>), ($'), ..., [$(n)], images des liens (F), (F'), ..., [F(n)], sont alors décrits chacun dans un sens déterminé et à chacun d'eux correspond ainsi un ordre déterminé pour chaque point I du plan qui n'est point situé sur eux ; la somme de tous ces ordres sera ce que j'appellerai l'ordre du point I par apport à l'image de (H).

Si les équations

9 ix> j) = a> h (>> y) = P

n'ont pas de solution xQ, y0 telle que le point (x0, y0 appartienne à l'ensemble (G») + (H), l'ordre de ce point par rapport à l'image de (H) sera nul.

Il suffit, pour s'en convaincre, de décomposer l'ensemble (Gn) + (H) en deux continuums complétés par leurs frontières, lesquelles sont des liens fermés simples, ainsi qu'on l'a expliqué au n° 312 ; seulement les n H- i liens que l'on emploie pour la décomposition doivent être du type .V. On n'aura alors qu'à appliquer le théorème 1 aux deux frontières des deux continuums partiels et à ajouter les deux égalités ainsi obtenues ; le théorème