CHAPITRE Vil. INTÉGRALES DEFIMES

modifications insignifiantes dans le langage. Si l'on a a0 = a, l'intégrale, par définition, est nulle.

On n'aura aucune peine à démontrer que, si la fonction f(x) est intégrable dans le plus grand des intervalles bornés par deux des trois nombres a, b, c, on a

J^c ,->a rb

f(x)dx -h / f(x)dx + I f{x)dx= o. b v c J a

Cette égalité subsiste si deux des nombres a, b, c sont égaux.

Si /(as) et <p(œ) sont des fonctions intégrables dans l'intervalle (a0, a), on voit tout de suite que, en désignant par À et B des constantes quelconques, la fonction

A/(*) + B<eH

est aussi intégrable dans le même intervalle et que l'on a

j [Af(x) + Be(x)]dx = A j j{x)dx + B j y{x)dx.

Si les deux fonctions bornées f{x), (p(x] sont intégrables dans l'intervalle (a0, a), il en est de même de la fonction f x] x ®(x).

Supposons en effet que, dans un même intervalle, les bornes inférieures des deux fonctions y x ), ®(x) soient respectivement m, u. et leurs écarts d, c); on aura, en désignant par x et x' deux valeurs quelconques appartenant à cet intervalle,

j(x) = m -+- hd,

<p(ar) = fi. -h ifi,

?(œ') =p + Vs

h, h' y, y/ étant des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) ; on en déduit

f{x) x »{x)—f(x') X Q[x')=(h — h')Vd + h— V)m8+(foi — h'tfdti;

si donc on désigne par P un nombre positif supérieur aux valeurs absolues de m et [x, on voit que, dans l'intervalle considéré, l'écart de la fonction f(x) X <p(œ) sera moindre que

ceci posé, considérons une décomposition (a0, al5 ..., an-i, a) de l'intervalle (a0, a) : soient dl} d2, ,.., dn et e^, à2, ..., àn les écarts des fonctions f(x) et y{x) dans les intervalles partiels (oq, «])» («u «2), •■-, («n i, a); si A est un nombre auquel les valeurs absolues des fonctions f(x), cp(x) restent inférieures dans l'intervalle (a0, a), la somme S des écarts de la fonction f(x) <p (x) •dans les intervalles (a0, ak), (a15 ai), ..., (a„l9 a), respectivement multipliés par les écarts de ces intervalles, sera moindre que

(«1 — «0) [A.-(<fj + S,) + ^8,] h- (a, — a,) [A(r/2 + 82) + d2Z2) -+- ... -+- (a — a„i') [Â'(«?„ -b 8n j) -h d„8„) ;

dès lors, si s désigne un nombre positif arbitraire, on peut, puisque les fonctions f(x), <p[x) sont intégrables dans l'intervalle (a.o, a), supposer la décomposition telle que l'on ait

— aQ)di -+- (a2

— «iH + ••

— «ii 04« < ^

— ao) 81 + («2

— aJ82 + .,

— art))on <; s;

si donc on désigne par B un nombre positif égal ou supérieur à l'écart de la fonction (p(x) clans l'intervalle total (a0, a), au moins égal par conséquent à chacun des nombres d\, â2, ..., &n, on aura

S<(aAn- B)e;

puisque s est arbitraire, et que les nombres A et B sont fixes, on voit que la décomposition peut être supposée telle que la différence S entre deux sommes supérieure et inférieure soit moindre que tel nombre que l'on voudra ; la fonction f(x) X © (a?) est donc intégrable dans l'intervalle Ca0, a).

On démontrera d'une façon analogue que, si w (a?) est une fonction bornée intégrable dans l'intervalle \a0, a), et dont la valeur absolue

reste supérieure à un nombre positif A, la fonction — r-x sera intégrable clans, le même intervalle.

250. — La définition de l'intégrale définie permet, lorsqu'on se donne la fonction à intégrer et les limites de l'intégrale, d'obtenir des valeurs approchées de l'intégrale définie, mais ce n'est que dans des cas très particuliers qu'elle fournit la valeur exacte de celte intégrale ; je me contenterai de citer l'exemple suivant :