IV. — COURBES

316. — Mon but est maintenant de particulariser la notion de lien pour arriver à la notion de courbe.

Considérons un lien (T) défini par les formules

ac =?(*), 7 = «KO. »^*^P-

Je vais montrer que, pour qu'on puisse étendre à ce lien la notion d'arc de courbe, il faut et il suffit que les fonctions cp(i), ty(t) soient des fonctions à variation bornée.

Si l'on a a < tt <C t2 <C ••• <C tn-\ <C fi je dirai comme au n° 239 que les nombres croissants a, tx, l^, ..., tn-i, fi définissent une décomposition de l'intervalle (a, fi). A une telle décomposition correspond une ligne brisée, dont je dirai qu'elle est inscrite dans le lien ; ses sommets successifs sont les points du lien qui correspondent aux valeurs a, ty, t2, ..., tn-i, fi. Les longueurs de pareilles lignes brisées auront, dans ce qui suit, le même rôle que les sommes inférieures dans la définition de l'intégrale définie.

La longueur d'une ligne brisée inscrite est égale ou supérieure à la distance entre l'origine et l'extrémité du lien ; l'égalité ne peut avoir lieu que si la ligne brisée se réduit au vecteur qui va de l'origine du lien à son extrémité.

Si, partant d'une décomposition (a, tlf t2, ..., tn-i, fi) de l'intervalle (a, fi), on décompose ensuite les intervalles partiels (a, tt), tv, l2), ..., (tn—i, fi), on définira par là même une nouvelle décomposition de l'intervalle (a, fi) ; la ligne brisée correspondante, obtenue en juxtaposant les lignes brisées inscrites dans les portions du lien qui correspondent aux intervalles partiels de la première décomposition, a une longueur supérieure ou égale à la longueur de la première. A chaque décomposition (a, tt, t%, ..., fi) de Tinter-

23o IMRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

valle (a, |3) correspondent, d'une part la longueur L de la ligne brisée inscrite et d'autre part les nombres

* = |y(^)-?(«)I + I?(^)-?(^)[ + --- + |?(P)-?(^i)!, v=W*i) — WI + IW — Wl + -. + I W-^,-01;

il est manifeste que le nombre L est supérieur ou égal à chacun des nombres <E>, W et qu'il est au plus égal à leur somme. Je désignerai par (L), (<£), (W) les ensembles respectifs des nombres distincts L, des nombres distincts <I>, des nombres distincts ^F, relatifs aux diverses décompositions possibles de l'intervalle (a, fi).

Pour que l'ensemble (L) soit borné en haut, il faut et il suffit évidemment que les ensembles ($), (W) soient eux-mêmes bornés en haut, c'est-à-dire que les fonctions (&(£), d»(2) soient à variation bornée dans l'intervalle (a, fi).

Supposons qu'il en soit ainsi et soit S la borne supérieure de l'ensemble (L). Je dis alors que S peut être regardé comme la limite de la longueur d'une ligne brisée inscrite variable pour laquelle les écarts des intervalles partiels de la décomposition tendent vers o ; en d'autres termes, à chaque nombre positif s correspond un nombre positif yj tel que la différence (positive ou nulle S — L soit moindre que s, pourvu que les intervalles partiels de la décomposition à laquelle se rapporte la longueur L de la ligne brisée aient tous un écart moindre que xj. L peut être regardé comme une valeur approchée de S, aussi approchée qu'on le veut, pourvu que yj soit suffisamment petit.

La démonstration, que je crois inutile de détailler, est tout à fait analogue à celle qu'on trouve dans le n° 241 ; elle repose essentiellement sur ce que, quel que soit le nombre positif s', il existe sûrement une décomposition déterminée pour laquelle on a S — L <C s', en désignant par L la longueur de la ligne brisée inscrite qui correspond à la décomposition, et sur la comparaison entre les longueurs L, L' de cette ligne brisée et d'une autre ligne brisée inscrite pour laquelle les écarts des intervalles partiels soient suffisamment petits, plus petits en particulier que le plus petit écart des intervalles partiels de la première décomposition, à laquelle se rapporte L. En superposant les deux décompositions, on est conduit à une troisième décomposition, à une troisième ligne